bzoj 2734: [HNOI2012]集合选数状压dp

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本文介绍了一种使用状态压缩动态规划（状压DP）的方法来解决一类特殊的子集计数问题。该问题要求计算在特定限制条件下，整数集合的子集数量，并给出了解决方案的具体思路与实现代码。

题意

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,…, n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就交给你了。
n<=100000

分析

思路比较巧妙的一道题。
对于一个元素，我们可以以其为左上角写出一个矩阵，满足一个数右边的数是这个数的3倍，下面的数是这个数的两倍。也就是矩阵中相邻的两个元素不能在同一集合中。注意到这个矩阵最多只有11列，便可以状压dp了。
由于每个矩阵之间互不影响，所以计算答案时用的是乘法原理。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int MOD=1000000001;

int bin[20],len[25],f[25][5005],n;
bool vis[100005],use[5005];

int solve(int x)
{
    int m=0,y=x;
    while (y<=n)
    {
        m++;len[m]=1;int tmp=y;vis[y]=1;
        while (tmp*3<=n) len[m]++,tmp*=3,vis[tmp]=1;
        y*=2;
    }
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
        for (int j=0;j<bin[len[i]];j++)
            if (!use[j])
            {
                f[i][j]=0;
                for (int k=0;k<bin[len[i-1]];k++)
                    if (!use[k]&&(j&k)==0) f[i][j]+=f[i-1][k],f[i][j]-=f[i][j]>=MOD?MOD:0;
            }
    int ans=0;
    for (int i=0;i<bin[len[m]];i++) ans+=f[m][i],ans-=ans>=MOD?MOD:0;
    return ans;
}

int main()
{
    bin[0]=1;
    for (int i=1;i<=11;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;
    for (int i=0;i<bin[11];i++)
        for (int j=0;j<10;j++)
            if ((i&bin[j])&&(i&bin[j+1])) use[i]=1;
    scanf("%d",&n);
    int ans=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (!vis[i]) ans=(LL)ans*solve(i)%MOD;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}