[BZOJ2734]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,…, n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

输入格式

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。

输出格式

仅包含一个正整数，表示{1, 2,…, n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

样例输入

4

样例输出

8

样例解释

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

题解

状态压缩dp

这道题目的思路真的很巧。我们可以构造一个矩阵如下

x	3x	9x	27 x
2x	6x	18x	54x
4x	12x	36 x	108 x
8x	24x	72x	216 x

此时令$x=1$，我们可以得到

1	3	9	27
2	6	18	54
4	12	36	108
8	24	72	216

我们可以观察到，每个数和他相邻的数都不可同时取，可以计算出本矩阵中取数的方案数。
但是我们会发现漏了5和7，那么按照上面进行构造。
计算出所有矩阵的结果，因为不同矩阵间的数是一定可以共同存在的，此时乘法原理，将各矩阵求得的方案数相乘取模即为答案。

如何统计方案数
f$[i][j]$表示当前处理到第$i$行，本行的状态为$j$。那么看一下j&(j>>1),j&k(k为上一行的某状态)是否都为0，如果是那么就从$f[i-1][k]$转移而来。
$f[i][j]=\sum (f[i-1][k]|k 　is 　ok)$。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
typedef long long LL;

const int mod = 1000000001;
const int size = 20+1;
LL ans=1;
int n;
int a[size][size],b[size],f[size][2049];
bool mark[100005];

inline int read(int &in) {
    in=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch-getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) in=in*10+ch-'0';
    return in*f;
}

inline int dp(int x) {
    memset(b,0,sizeof b);
    a[1][1]=x;
    for(int i=2;i<=18;i++)
        if((a[i-1][1]<<1)<=n) a[i][1]=a[i-1][1]<<1; else a[i][1]=n+1;
    for(int i=1;i<=18;i++)
        for(int j=2;j<=11;j++)
            if(a[i][j-1]*3<=n) a[i][j]=a[i][j-1]*3; else a[i][j]=n+1;
    for(int i=1;i<=18;i++)
        for(int j=1;j<=11;j++)
            if(a[i][j]<=n) {
                b[i]+=(1<<(j-1));mark[a[i][j]]=1;
            }
    for(int i=0;i<=18;i++)
        for(int j=0;j<=b[i];j++)
            f[i][j]=0;
    f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<18;i++)
        for(int j=0;j<=b[i];j++)
            if(f[i][j])
                for(int k=0;k<=b[i+1];k++)
                    if(((j&k)==0) && ((k&(k>>1))==0))
                        f[i+1][k]=(f[i][j]+f[i+1][k])%mod;
    return f[18][0];
}

int main() {
    read(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!mark[i]) ans=(ans*dp(i))%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}