BZOJ2734: [HNOI2012]集合选数

求解集合满足特定约束条件的子集问题

最新推荐文章于 2019-08-08 19:56:00 发布

原创最新推荐文章于 2019-08-08 19:56:00 发布 · 386 阅读

2 ·

CC 4.0 BY-SA版权

一道集合论与图论的作业题转化为求解正整数集合中，满足x在子集中则2x和3x不在子集内的子集个数问题。对于n≤100000，需要计算符合条件的子集数量并对1,000,000,001取模。30%的数据中n≤20。" 20078479,2088217,理解二进制位运算：原码、反码与补码,"['位运算', '二进制', 'Java']

Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就交给你了。

Input

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。

Output

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件的子集。

Sample Input

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

HINT

Source

状压DP

对于1 我们把会产生影响的数提出来

1 2 4 8 16

3 6 12 24 48

9 18 36 72 144...

发现行数和列数最多有log个且列数最多11个完全可以状压不选相邻的数即可

直接计算

同时还有一些数并不在这里面对于它们也要分别构造矩阵

~~时间复杂度玄学（反正挺小的）~~

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 100010;
const int mod = 1000000001;

inline void upd(int &x, int y) { x += y; if( x >= mod ) x -= mod; }

int n, table[19], dp[18][2048], ans = 1, b[19], a[19][19];

bool vis[maxn];

inline int cal(int x)
{
	memset( b, 0, sizeof( b ) );
	a[ 1 ][ 1 ] = x;
	for( int i = 2 ; i <= 18 ; i++ ) a[ i ][ 1 ] = ( ( a[ i - 1 ][ 1 ] << 1 ) <= n ) ? ( a[ i - 1 ][ 1 ] << 1 ) : ( n + 1 );
	for( int i = 1 ; i <= 18 ; i++ )
		for( int j = 2 ; j <= 11 ; j++ )
			a[ i ][ j ] = ( a[ i ][ j - 1 ] * 3 <= n ) ? ( a[ i ][ j - 1 ] * 3 ) : ( n + 1 );
	for( int i = 1 ; i <= 18 ; i++ )
		for( int j = 1 ; j <= 11 ; j++ )
			if( a[ i ][ j ] <= n )
			{
				b[ i ] += table[ j - 1 ];
				vis[ a[ i ][ j ] ] = true;
			}
	memset( dp, 0, sizeof( dp ) );
	dp[ 0 ][ 0 ] = 1;
	for( int i = 0 ; i < 18 ; i++ )
		for( int j = 0 ; j <= b[ i ] ; j++ )
			if( dp[ i ][ j ] )
				for( int k = 0 ; k <= b[ i + 1 ] ; k++ )
					if( !( j & k ) && !( k & ( k >> 1 ) ) )
						upd( dp[ i + 1 ][ k ], dp[ i ][ j ] );
	return dp[ 18 ][ 0 ];
}

int main()
{
	scanf( "%d", &n );
	table[ 0 ] = 1;
	for( int i = 1 ; i <= 18 ; i++ ) table[ i ] = table[ i - 1 ] << 1;
	for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) if( !vis[ i ] ) ans = 1ll * ans * cal( i ) % mod;
	return printf( "%d\n", ans ), 0;
}