Description
《集合论与图论》这门课程有一道作业题,要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数 n≤100000,如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对
1,000,000,001 取模的结果),现在这个问题就 交给你了。
Input
只有一行,其中有一个正整数 n,30%的数据满足 n≤20。
Output
仅包含一个正整数,表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。
Sample Input
4
Sample Output
8
【样例解释】
有8 个集合满足要求,分别是空集,{1},{1,4},{2},{2,3},{3},{3,4},{4}。
【样例解释】
有8 个集合满足要求,分别是空集,{1},{1,4},{2},{2,3},{3},{3,4},{4}。
HINT
Source
状压DP
对于1 我们把会产生影响的数提出来
1 2 4 8 16
3 6 12 24 48
9 18 36 72 144...
发现行数和列数最多有log个 且列数最多11个完全可以状压 不选相邻的数即可
直接计算
同时 还有一些数并不在这里面 对于它们也要分别构造矩阵
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
const int mod = 1000000001;
inline void upd(int &x, int y) { x += y; if( x >= mod ) x -= mod; }
int n, table[19], dp[18][2048], ans = 1, b[19], a[19][19];
bool vis[maxn];
inline int cal(int x)
{
memset( b, 0, sizeof( b ) );
a[ 1 ][ 1 ] = x;
for( int i = 2 ; i <= 18 ; i++ ) a[ i ][ 1 ] = ( ( a[ i - 1 ][ 1 ] << 1 ) <= n ) ? ( a[ i - 1 ][ 1 ] << 1 ) : ( n + 1 );
for( int i = 1 ; i <= 18 ; i++ )
for( int j = 2 ; j <= 11 ; j++ )
a[ i ][ j ] = ( a[ i ][ j - 1 ] * 3 <= n ) ? ( a[ i ][ j - 1 ] * 3 ) : ( n + 1 );
for( int i = 1 ; i <= 18 ; i++ )
for( int j = 1 ; j <= 11 ; j++ )
if( a[ i ][ j ] <= n )
{
b[ i ] += table[ j - 1 ];
vis[ a[ i ][ j ] ] = true;
}
memset( dp, 0, sizeof( dp ) );
dp[ 0 ][ 0 ] = 1;
for( int i = 0 ; i < 18 ; i++ )
for( int j = 0 ; j <= b[ i ] ; j++ )
if( dp[ i ][ j ] )
for( int k = 0 ; k <= b[ i + 1 ] ; k++ )
if( !( j & k ) && !( k & ( k >> 1 ) ) )
upd( dp[ i + 1 ][ k ], dp[ i ][ j ] );
return dp[ 18 ][ 0 ];
}
int main()
{
scanf( "%d", &n );
table[ 0 ] = 1;
for( int i = 1 ; i <= 18 ; i++ ) table[ i ] = table[ i - 1 ] << 1;
for( int i = 1 ; i <= n ; i++ ) if( !vis[ i ] ) ans = 1ll * ans * cal( i ) % mod;
return printf( "%d\n", ans ), 0;
}