如何线性求[1,p-1]的逆元

今天做了一下bzoj 4011，顺便学习了一波如何线性递推求[1,p-1]在模p下的逆元。注意p为素数。
设$a$的逆元为$a^{-1}$，根据逆元的定义显然有$a\ast a^{-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

首先有1的逆元就是1.
假设现在已经球出了$[1,a-1]$的逆元，现在考虑如何求$a$的逆元。

设$k=\lfloor \frac{p}{a}\rfloor ,r=p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a$

有$k\ast a+r=p$

$$k\ast a+r\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$$(k\ast a+r)\ast a^{-1}\ast r^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$$k\ast r^{-1}+a^{-1}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$$a^{-1}\equiv -k\ast r^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$$a^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{a}\rfloor \ast (p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a{)}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

$$a^{-1}\equiv (p-\lfloor \frac{p}{a}\rfloor )\ast (p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}a{)}^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$

代码如下：

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
    inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;