本文介绍了线性求解连续n个逆元的方法，通过线性关系推导出求逆元的公式，并展示了如何利用前缀积求解不同数字的逆元。文中还提供了两个例题，一个是线性求逆元的应用，另一个涉及逆元在乘法运算中的简化统计过程。
线性求解连续的n个逆元
线性求解n个数字的逆元，需要找到新元素的逆元同以往求解过逆元的关系。
以下面式子举例,对于要求解逆元的k,模数为p，有：
p = a k + b ( b < a , k ) p=ak + b \\ (b < a,k) p=ak+b(b<a,k)
进而有：
a k + b ≡ 0 ( m o d p ) ak + b \equiv 0\, (mod\,p) ak+b≡0(modp)
两边同时乘以k-1b-1,得到：
a b − 1 + k − 1 ≡ 0 ( m o d p ) ab^{-1} + k^{-1} \equiv 0\,(mod\,p) \\ ab−1+k−1≡0(modp)
即
k − 1 ≡ − a b − 1 ( m o d p ) k^{-1}\equiv-ab^{-1}\,(mod\,p) k−1≡−ab−1(modp)
我们知道，
a = ⌊ p k ⌋ b = p m o d k a=\left \lfloor p \over k\right \rfloor \\ b=p\,mod\,k a=⌊kp⌋b=pmodk
因此，有
k − 1 ≡ − ⌊ p k ⌋ ( p m o d k ) − 1 k^{-1}\equiv - \left \lfloor p\over k\right \rfloor(p\,mod\,k)^{-1} k−1≡−⌊kp
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