求解逆元的几种姿势——费马小定理、欧拉定理、扩展欧几里得以及线性求法 C++

相信取模大家已经不怎么陌生，在值很大的题目里经常要我们对答案进行取模，只需熟练运用以下一些公式即可轻松搞定这种题目：
$$\begin{gathered} (a+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c+b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c \\ (a\times b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c\times b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c \\ (a-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c-b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c+c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c \end{gathered}$$
但是，在上面的式子中，唯独少了除法不能边运算边取模。正是如此，我们也必须掌握在除法中如何进行取模，而帮助除法取模的方法，就是逆元。

逆元的定义

对于任意两个整数$a,p$，若存在整数$x$使得$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，那么称$x$为$a$在模$p$意义下的乘法逆元，记作$a^{-1}$。
若$(a,p)\ne 1$，则$x$不存在。

• 求出来的$x$可以保证对于任意的整数$k,\frac{k}{a}\equiv kx(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，也就是$\frac{k}{a}\equiv k\cdot \frac{1}{a}$