第3章线性映射

最新推荐文章于 2025-01-22 16:29:15 发布

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本文详细阐述了线性映射的基本定义及其性质，包括零元映射、映射的像与核、线性映射的秩等核心概念，并探讨了线性映射与空间维数之间的关系。

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定义 3.1 从线性空间 $V_1(F)$ 到 $V_2(F)$ 的一个映射 $\sigma$ 是线性的，如果 $\forall \alpha, \beta \in V_1$ 和 $\forall \lambda,\mu\in F$ 都有 $σ (λ α + μ β) = λ σ (α) + μ σ (β)$ $\sigma(\lambda\alpha+\mu\beta)=\lambda\sigma(\alpha)+\mu\sigma(\beta)$

零元 $0_1$ 一定一映射到零元 $0_2$ ，否则不满足线性定义

映射的像与和： $\sigma(V_1)$ 和 $\sigma^{-1}(0_2)$ ，也常记作 $Im\sigma$ 和 $ker\sigma$
定理 3.1 线性映射是单射 $\iff$ $\sigma^{-1}(0_2)=\{0_1\}$ 。就是说只有 $0_1$ 可以映射到 $0_2$

证明思路：
左到右：零元 $0_1$ 一定一映射到零元 $0_2$ ，加上单射，右边成立
右到左：反证法，假设存在 $\sigma(\alpha_1)=\sigma(\alpha_2)$ ，则 $\alpha_1=\alpha_2$

线性映射的秩： $r(\sigma)=dim\sigma(V_1)$
$r(\sigma)+dim(Ker\sigma)=dim(V_1)$

证明思路：
$\sigma(V_1)=L(\sigma(\alpha_1),...,\sigma(\alpha_n))$ ， $\alpha$ 是基向量
设 $dim(Ker\sigma)=k$ ，扩张其基向量到 $V_1$ 的基。则 $\sigma(V_1)=L(\sigma(\alpha_{k+1}),...,\sigma(\alpha_{n}))$ 。证明这n-k个像线性无关即可
满射 $\iff$ $r(\sigma)=dim(V_2)$ ，单射 $\iff$ $dim(Ker\sigma)=0$
定理 3.4 $r(\sigma)+r(\tau)-n\le r(\tau\sigma) \le min(r(\sigma), r(\tau))$ ， $\sigma \in L(V_1,V_2),\tau \in L(V_2,V_3)，V_i依次是m,n,s维空间$

证明思路：一个n维空间映射到m维空间，得到的像最多是n维
定理 3.7 若 $V_1(F)$ 和 $V_2(F)$ 分别是n和m维线性空间，则空间 $L(V_1,V_2)$ 的维度是nm

证明思路： $L(V_1,V_2)$ 的元素是映射。先确定零元素的意义：任何映射 $\sigma + \sigma_0=\sigma$ 。这个映射 $\sigma_0$ 一定把 $V_1$ 中的基向量映射到 $V_2$ 中的 $0_2$ 。
先找nm个线性无关的映射，它们线性组合为 $\sigma_0$ ，则系数都是0
在证明所有映射都可通过上面nm个映射表示
映射表示： $\sigma(\alpha_1)=k_{11}\beta_1+...+k_{1m}\beta_m$ ， . $\sigma(\alpha_n)=k_{n1}\beta_1+...+k_{nm}\beta_m$
或者通过映射的矩阵表示证明
定理 3.8 两个有限维线性空间 $V_1(F)$ 和 $V_2(F)$ 同构（存在线性双射） $\iff$ 它们维数相同