[高等数学] 方程的近似解

一、知识点

（一）求近似解的步骤

1. 确定根的大致范围

确定一个区间 $[a.b]$，使所求的根是位于这个区间内的唯一实根，这一步称为根的隔离。区间 $[a.b]$ 称为所求实根的隔离区间。

为了确定根的隔离区间，可以先较精确地画出 $y=f(x)$ 的图形，然后定出图形与 $x$ 轴的大概位置。这种做法得不到精确的根，但一般可以确定根的隔离区间。

2. 求得近似解

以隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精度要求的近似解。完成这步工作常用的方法有二分法和切线法。

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（二）二分法

设 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，$f(a)\cdot f(b)<0$，且方程 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内仅有一个实根 $\xi$，于是 $[a,b]$ 即是这个根的一个隔离区间。

取 $[a,b]$ 的中点，${\xi }_1=\frac{a+b}{2}$，计算 $f(\xi )$。

如果 $f({\xi }_1)=0$，那么 $\xi ={\xi }_1$。

如果 $f({\xi }_1)$ 与 $f(a)$ 同号，那么取 $a_1={\xi }_1$，$b_1=b$，由 $f(a_1)\cdot f(b_1)<0$，知 $a_1<\xi <b_1$，且 $b_1-a_1=\frac{1}{2}(b-a)$.

如果 $f({\xi }_1)$ 与 $f(b)$ 同号，那么取 $a_1=a$，$b_1={\xi }_1$，有 $a_1<\xi <b_1$ 及 $b_1-a_1=\frac{1}{2}(b-a)$.

总之，当 $\xi \ne {\xi }_1$ 时，可求得 $a_1<\xi <b_1$