高等数学--方程的近似解（六）

目的： 在科学技术问题中，经常会遇到求解高次代数方程或其他类型方程的问题，要求出这类方程实根的精确值，往往比较困难，需要寻找方法来获取方程的近似解。

步骤：
①先画出复杂方程y=f(x)的大致图形，从图上定位出它与x轴的交点大概位置，这一步工作称为根的隔离，获取的区间[a,b]称为隔离区间。
②以根的隔离区间作为初始近似值，逐步改善其精确度，直至满足要求。

二分法，对分法

设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)*f(b)<0,且方程f(x)=0在(a,b)内仅有一个实根ε，于是[a,b]既是这个根的一个隔离区间。
取[a,b]的中点ε1=（a+b）/2，计算f(ε1)。
如果恰好f(ε1)=0，方程的根自然就是ε=ε1。
如果f(ε1)与f(a)同号，那么新a1=ε1，新b1=b，如果f(ε1)与f(b)同号，那么新a1=a，新b1=ε1，在新隔离区间再找。
重复以上步骤。

例1 求方程x^3 + 1.1x ^2+0.9x-1.4=0 实根的近似解
解： 令y=x^3+1.1x ^2+0.9x-1.4，画出图形：

肉眼大概看出隔离区间是[-1,1]。
①先令ε1=(a+b)/2=0，求出f(0)=-1.4 ,f(-1)=-2.2 ，同号，那么新a1=ε1=0，b1=b=1，隔离区间为[0,1]
②再令ε2=(a1+b1)/2=0.5，求出f(0.5)=-0.55，与f（a1）同号，那么新a2=ε2，b2=b=1,隔离区间为[0.5,1]
………………
………………
求出当ε10=0.670，f(ε10)=-0.002，满足近似条件。

切线法，牛顿迭代法

设f(x)在区间[a,b]上具有二阶导数，f(a)f(b)<0，且f’(