第六讲复数和复指数

最新推荐文章于 2025-04-24 23:26:53 发布

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分类专栏：微分方程文章标签：麻省理工学院微分方程笔记

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一，复数的除法：

复数变实数，需要用到共轭性质： $z=a+bi$ ， $\overline{z}=a-bi$ ， $z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$

二，计算 $\frac{2+i}{1-3i}$ ：

分子分母同乘以分母的共轭复数： $\frac{2+i}{1-3i}\times \frac{1+3i}{1+3i}=\frac{-1+7i}{10}=-\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i$

三，复数的极坐标形式：

四，欧拉公式：

五，指数函数 $e^{i\theta }$ 的性质：

指数函数的运算法则（指数率）： $e^{i\theta_{1} }\cdot e^{i\theta_{2} } =e^{i(\theta_{1}+\theta_{2}) }$ ，或者 $(cos\theta_{1}} +isin\theta_{1})(cos\theta_{2}} +isin\theta_{2})=cos(\theta_{1}+\theta_{2})+isin(\theta_{1}+\theta_{2})$ ；
$e^{i\theta }$ 的求导法则： $({e^{i\theta }})'=ie^{i\theta }$ ，或者 ${(cos\theta +isin\theta)}'= {cos\theta}'+i{sin\theta}'=-sin\theta +icos\theta =i(cos\theta +isin\theta)$
当 $\theta=0$ 时： $e^{i0}=1$ ，或者 $cos0 +isin0=1+0=1$
这个定义符合无穷级数

六，两个复数相乘：

用极坐标算，只需将模r相乘，幅角 $\theta$ 相加： $r_{1}e^{i\theta_{1} }\cdot r_{2}e^{i\theta_{2} }=r_{1}r_{2}e^{i(\theta_{1} +\theta_{2} )}$
用直角坐标算会很麻烦： $(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=......$

七，求积分 $\int e^{-x}cosxdx$ ：

直接算可以用分部积分法，但很麻烦
因为 $cosx$ 是 $e^{ix}$ 的实数部分，所以可以将 $e^{ix}$ 替换 $cosx$ ，原方程变为 $\int e^{-x}e^{ix}dx$ ，积分完成后再去掉虚数部分即可
$\int e^{-x}e^{ix}dx=\int e^{(-1+i)x}dx=\frac{e^{(-1+i)x}}{-1+i}\cdot \frac{-1-i}{-1-i} =\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)$
将 $e^{ix}$ 转换成三角函数： $\frac{1}{2}e^{-x}e^{ix}(-1-i)=\frac{1}{2}e^{-x}(cosx+isinx)(-1-i)$
去掉虚数部分得： $\frac{1}{2}e^{-x}(-cosx+sinx)$

八，计算 $\sqrt[n]{1}$ ：

在实数范围内，计算结果只有：1或±1
在复数范围内，计算结果有n个：单位圆上的n个等分点（ $e^{i\theta_{1} }$ ， $e^{i\theta_{2} }$ ，……， $e^{i\theta_{n} }$ ）
证明：因为是单位圆，模相乘r=1；因为是等分点，幅角相加 $\theta _{1}+\theta _{2}+......\theta _{n}=2\pi =0$ ， $e^{i0}=1$
几何图见视频40:00~45:00