第三十三讲非线性方程组化为一阶方程

最新推荐文章于 2024-07-31 14:01:47 发布

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分类专栏：微分方程文章标签：麻省理工微分方程

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本讲介绍了如何将非线性方程组转化为一阶常微分方程，通过消除时间变量t简化问题。线性方程组可以通过消去t得到圆的通解，而非线性方程组如鲨鱼-小鱼模型则涉及临界点分析。通过线性化和分离变量的方法，解析解的形状得以展现，揭示了系统的动态行为，如中心和鞍点。最后讨论了沃尔泰拉问题及其在捕鱼影响下的变化，即沃尔泰拉法则。

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一，预备知识
非线性自治微分方程组： $dxdt=f(x,y)dydt=g(x,y)\left\{\begin{matrix}\frac{dx}{dt}=f(x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(x,y)\end{matrix}\right.$
等式右边不显含变量t
图像是一个速度场： $F⃗=fi^+gj^\vec{F}=f\widehat{i}+g\widehat{j}$
在这里插入图片描述
方程组的解为： $x=x(t)y=y(t)\left\{\begin{matrix}x=x(t)\\ y=y(t)\end{matrix}\right.$
图像是一条轨迹：

二，从方程组中消除t：
只需将方程组中的两个方程相除： $dydx=g(x,y)f(x,y)\frac{dy}{dx}=\frac{g(x,y)}{f(x,y)}$
此时方程组变为了一阶常微分方程
图像中，消去了自变量t，也就没有了速度（向量的长度和方向），只剩下该点的斜率，速度场变成了斜率场。
解不再是一对参数方程，而是 $y^{'} = y (x)$ （显函数，隐函数都有可能），不再是轨迹，而是曲线。
在这里插入图片描述
消除t的好处：有可能使原来无法解的方程组变得可解。

三，线性方程组例题：
线性方程组： $x′=yy′=−x\left\{\begin{matrix}{x}'=y\\ {y}'=-x\end{matrix}\right.$

通解： $[xy]=c1[cos(t)−sin(t)]+c2[sin(t)cos(t)]\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}cos(t)\\ -sin(t)\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}sin(t)\\ cos(t)\end{bmatrix}$