第二十五讲 用线性代数解微分方程组

本文详细讲解了如何使用线性代数方法解决二阶微分方程组,通过消元法得到通解,并用矩阵表示方程组及通解。接着,通过特征值和特征向量求解,最终得出解空间的表达式。

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一,上一讲的例题,如图:
在这里插入图片描述
x=T1x=T_1x=T1y=T2y=T_2y=T2
方程组为·:{ x′=−2x+2yy′=2x−5y\left\{\begin{matrix}{x}'=-2x+2y\\ {y}'=2x-5y\end{matrix}\right.{ x=2x+2yy=2x5y
用消元法求出的通解为:{ x=c1e−t+c2e−6ty=12c1e−t−2c2e−6t\left\{\begin{matrix}x=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{-6t}\\ y=\frac{1}{2}c_{1}e^{-t}-2c_{2}e^{-6t}\end{matrix}\right.{ x=c1et+c2e6ty=21c1et2c2e6t

二,用矩阵重新表示方程组:
[x′y′]=[−222−5][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[xy]=[2225][xy]

三,用矩阵重新表示通解:
[xy]=c1[112]e−t+c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}[xy]=c1[121]et+c2[

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