第二十五讲用线性代数解微分方程组

最新推荐文章于 2025-07-08 16:24:12 发布

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分类专栏：微分方程文章标签：麻省理工微分方程

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_23940575/article/details/86619954

本文详细讲解了如何使用线性代数方法解决二阶微分方程组，通过消元法得到通解，并用矩阵表示方程组及通解。接着，通过特征值和特征向量求解，最终得出解空间的表达式。

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一，上一讲的例题，如图：
在这里插入图片描述
设 $x=T_1$ ， $y=T_2$
方程组为·： $x′=−2x+2yy′=2x−5y\left\{\begin{matrix}{x}'=-2x+2y\\ {y}'=2x-5y\end{matrix}\right.$
用消元法求出的通解为： $x=c1e−t+c2e−6ty=12c1e−t−2c2e−6t\left\{\begin{matrix}x=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{-6t}\\ y=\frac{1}{2}c_{1}e^{-t}-2c_{2}e^{-6t}\end{matrix}\right.$

二，用矩阵重新表示方程组：
$[x′y′]=[−222−5][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}$

三，用矩阵重新表示通解：
$[xy]=c1[112]e−t+c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}$