Formal System-相继式演算(Sequenz)

同样是用于解决不可实现问题(unerfüllbarkeit)，不同于Tabeau适用于纯手写和resolution的自动化。这个方法介于两者之间。他需要手动选择具体的操作方法，然后又电脑实现具体的方法。
另外这个方法是由Tebleau方法转变过来的，所以估计思路是差不多的。

定义

Sequenz是一对用下面方式表示的有限的公式(Formel)集：

$$\Gamma \Rightarrow \Delta$$
其中：
$\Gamma$和$\Delta$都可以是空集
已知D为一个谓词逻辑结构(//不该是指值域吗？？),$\beta$为一个断言，那么就有：
$$val_{D,\beta}(\Gamma \Rightarrow \Delta)=val_{D,\beta}(\bigwedge\Gamma \rightarrow \bigvee \Delta)$$
上式同样适用于空集
(Es gelten die üblichen Vereinbarungen für leere Disjunktionen und Konjunktionen)

表达逻辑的相继公理和规则

$$axiom: \frac{}{\Gamma,F\Rightarrow F,\Delta}\\ not-left:\frac{\Gamma\Rightarrow F,\Delta}{\Gamma,\lnot F\Rightarrow \Delta}\\ not-right:\frac{\Gamma,F\Rightarrow\Delta}{\Gamma\Rightarrow \lnot F,\Delta}\\ impl-left:\frac{\Gamma \Rightarrow F,\Delta\ \ \ \Gamma,G\Rightarrow \Delta}{\Gamma,F\rightarrow G\Rightarrow \Delta}\\ impl-right:\frac{\Gamma,F\Rightarrow G,\Delta}{\Gamma \Rightarrow F \rightarrow G,\Delta}\\ and-left:\frac{\Gamma,F,G\Rightarrow\Delta}{\Gamma,F\land G\Rightarrow \Delta}\\ and-right:\frac{\Gamma\Rightarrow F,\Delta\ \ \ \Gamma\Rightarrow G,\Delta}{\Gamma\Rightarrow F\land G,\Delta}\\ or-left:\frac{\Gamma,F\Rightarrow \Delta\ \ \ \Gamma,G\Rightarrow \Delta}{\Gamma,F\lor G\Rightarrow \Delta}\\ or-right:\frac{\Gamma\Rightarrow F,G,\Delta}{\Gamma\Rightarrow F\lor G,\Delta}$$

谓词逻辑的相继规则

all-left:

$$\frac{\Gamma,\forall x F,\{x/X\}F\Rightarrow \Delta}{\Gamma,\forall xF\Rightarrow \Delta}$$
其中X是一个新的变量

all-right:

$$\frac{\Gamma\Rightarrow\{x/f(\overline{x})\}F,\Delta}{\Gamma\Rightarrow \forall x F,\Delta}$$
其中：
f是新的函数符号
$\overline{x}=x_1,...,x_n$表示$\forall xF$中的所有自由变量

ex-right:

$$\frac{\Gamma\Rightarrow \exists xF,\{x/X\}F,\Delta}{\Gamma\Rightarrow \exists xF,\Delta}$$
其中X为新的变量

ex-left:

$$\frac{\Gamma,\{x/f(\overline{x})\}F\Rightarrow \Delta}{\Gamma,\exists xF\Rightarrow \Delta}$$
其中：
f为新的函数符号
$\overline{x}=x_1,...,x_n$为$\exists xF$中的所有的自由变量
//为什么会是这样，还有点晕

等式的相继规则和公理

$$identity-right:\frac{}{\Gamma\Rightarrow s\doteq s,\Delta}\\ symmetry-right:\frac{\Gamma\Rightarrow s\doteq t,\Delta}{\Gamma\Rightarrow t\doteq s,\Delta}\\ symmetry-left:\frac{\Gamma,s\doteq t\Rightarrow \Delta}{\Gamma,t\doteq s \Rightarrow \Delta}\\ eq-subst-right:\frac{\Gamma,s\doteq t\Rightarrow F(t),\Delta}{\Gamma,s\doteq t\Rightarrow F(s),\Delta}\\ eq-subst-left:\frac{\Gamma,F(t),s\doteq t\Rightarrow \Delta}{\Gamma,F(s),s\doteq t\Rightarrow \Delta}$$

相继式的推导树

推导树就是一个树结构，他的每个节点都用Sequence标志，其中：
1.加入节点n有且仅有一个子节点n’，且n和n’分别用“$\Gamma\Rightarrow \Delta$”“$\Gamma_1\Rightarrow\Delta_1$”标志，那么对应的就有下面的相继规则：

$$\frac{\Gamma_1\Rightarrow \Delta_1}{\Gamma\Rightarrow\Delta}$$
2.如果节点n有且仅有两个子节点$n_1,n_2$，他们分别标识为：$\Gamma\Rightarrow \Delta,\Gamma_1\Rightarrow\Delta_1,\Gamma_2\Rightarrow\Delta_2$，那么对应的就有下面这个相继规则：
$$\frac{\Gamma_1\Rightarrow\Delta_1\ \ \ \ \Gamma_2\Rightarrow\Delta_2}{\Gamma\Rightarrow\Delta}$$
3.存在一个替换$\sigma$，他可以使得对于每一个不存在子节点的节点n的标识A，$\sigma(A)$为一个公理。
/*
Man beachte daß zunächst A$\equiv p(s)\Rightarrow p(t)$ kein Axiom zu sein braucht
ist $\sigma$ aber ein Unifikator von s und t dann ist $\sigma(A)\equivp(\sigma(S))\Rightarrow p(\sigma(t))$zu einem Axiom wird.
*/

两条定理

已知$M \subseteq For_\sum,A\in For_\sum$,那么就有：

$$M\vdash_s A \Rightarrow M\models A$$
已知$M \subseteq For_\sum,A\in For_\sum$,那么就有：
$$M\models A \Rightarrow M\vdash_s A$$