【高等数学笔记】沃利斯（Wallis）积分公式

沃利斯积分公式是求解形如$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x$$这种积分的公式。

一、正弦函数（$\sin$）的沃利斯公式

记$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\text{d}x$。当$n\ge 2$时，应用凑微分和分部积分得 I n = ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x = − ∫ 0 π 2 sin ⁡ n − 1 x d ( cos ⁡ x ) = − [ sin ⁡ n − 1 x cos ⁡ x ∣ 0 π 2 − ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d ( sin ⁡ n − 1 x ) ] = − [ sin ⁡ n − 1 x cos ⁡ x ∣ 0 π 2 − ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x sin ⁡ n − 2 x d x ] = − [ 0 − 0 − ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 ( 1 − sin ⁡ 2 x ) sin ⁡ n − 2 x d x ] = − ( n − 1 ) [ − ∫ 0 π 2 sin ⁡ n − 2 x d x + ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x ] = ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n \begin{aligned}I_n&=\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\text{d}x=-\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-1}x\text{d}(\cos x)\\&=-\left[\left.\sin^{n-1}x\cos x\right|_0^{\frac\pi2}-\int_0^{\frac\pi2}\cos x\text{d}(\sin^{n-1}x)\right]\\&=-\left[\left.\sin^{n-1}x\cos x\right|_0^{\frac\pi2}-(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\cos^2x\sin^{n-2}x\text{d}x\right]\\&=-\left[0-0-(n-1)\int_0^{\frac\pi2}(1-\sin^2x)\sin^{n-2}x\text{d}x\right]\\&=-(n-1)\left[-\int_0^{\frac\pi2}\sin^{n-2}x\text{d}x+\int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\text{d}x\right]\\&=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\end{aligned} In​​=∫02π​​sinnxdx=−∫02π​​sinn−1xd(cosx)=−[sinn−1xcosx∣∣​02π​​−∫02π​​cosxd(sinn−1x)]=−[sinn−1xcosx∣∣​02π​​−(n−1)∫02π​​cos2xsinn−2xdx]=−[0−0−(n−1)∫0