文章探讨了多元函数可微性的充分条件，并给出一个弱化的定理，指出仅需一个偏导数连续且另一个偏导数在某点存在，函数在该点就可微。通过拉格朗日中值定理和极限概念进行证明。同时，通过一个例题解释了为什么仅函数值连续或偏导数存在不能确保可微性，并提供了一个满足弱化条件但不连续的反例。最后，强调了可微性与函数在该点的局部线性近似的关系。
在上篇文章中，我们介绍了二元函数可微的一个充分条件：
定理2 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)得的某个邻域内有定义，若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的两个偏导数均在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续，则该函数在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微。
但我们事实上还可以弱化这个条件。
定理2’ 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)得的某个邻域内有定义，若 f y ( x , y ) f_y(x,y) fy(x,y)在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续，且 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx(x0,y0)存在，则 z z z在该点可微。
证明：考虑 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 + Δ x , y 0 ) ] + [ f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) ] \begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)]+[f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)]\end{aligned} Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)=[f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0+Δx,y0)]+[f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)]左边使用拉拉格朗日中值定理得 f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 + Δ x , y 0 ) = f y ( x 0 + Δ x , y 0 + θ Δ y ) Δ y f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)=f_y(x_0+\Delta x,y_0+\theta\Delta y)\Delta y f(x0+Δx,y0
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