本文探讨了幂等矩阵的定义及其性质，包括特征值仅为0或1，可以对角化，以及秩和迹的特性。定理和推论展示了幂等矩阵秩的重要性，并给出了一种矩阵对角化的形式。最后，通过例题说明如何将任意矩阵分解为幂等矩阵和可逆矩阵的乘积。
定义 设 A n × n A_{n\times n} An×n满足 A 2 = A A^2=A A2=A，则 A A A为幂等矩阵。
定理1 幂等矩阵 A A A的特征值只可能是 0 0 0或 1 1 1。
证明：设 λ \lambda λ是 A A A的特征值，则 λ \lambda λ也是 A 2 A^2 A2的特征值，而 A 2 A^2 A2得特征值是 λ 2 \lambda^2 λ2，故 λ 2 = λ \lambda^2=\lambda λ2=λ，即 λ = 0 , 1 \lambda=0,1 λ=0,1。
定理2 设 A A A为 n n n阶幂等矩阵，则 A A A一定可以对角化。
证明：即证 0 , 1 0,1 0,1的代数重数等于几何重数。
首先， 0 0 0的代数重数大于等于其几何重数 t ≥ n − r ( A ) t\ge n-r(A) t≥n−r(A)。
其次， A 2 = A A^2=A A2=A知 A ( I − A ) = O A(I-A)=O A(I−A)=O，则由这篇文章知 r ( A ) + r ( I − A ) ≤ n r(A)+r(I-A)\le n r(A)+r(I−A)≤n。又 A + ( I − A ) = I A+(I-A)=I A+(I−A)=I，故 r ( A ) + r ( I − A ) ≥ r ( I ) = n r(A)+r(I-A)\ge r(I)=n r(A)+r(I−A)≥r(I)
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
1439
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
