【线性代数笔记】线性代数知识点总结、概念之间关系总结

矩阵的秩

1. 基础

初等变换不改变矩阵的秩。

阶梯形矩阵非零行的个数即为该矩阵的秩。

$r(\mathbf{A})=r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})=r({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})=r(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})$（因为齐次线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$与${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$同解）。

$r(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$（因为$\mathbf{A}+\mathbf{B}$的列向量组可以由$\mathbf{A}$的列向量组加上$\mathbf{B}$的列向量组线性表示）。

r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})\le\min\{r(\boldsymbol{A}),r(\boldsymbol{B})\} r(AB)≤min{ r(A),r(B)}（$\mathbf{A}\mathbf{B}$的每个列向量组可由$\mathbf{A}$的列向量线性表示；再转置一下以考虑$\mathbf{B}$）。

2. 秩与行列式的关系

矩阵$\mathbf{A}$的秩$r(\mathbf{A})$是$\mathbf{A}$中非零子式的最高阶数。

$r(\mathbf{A})=0⟺\mathbf{A}=\mathbf{O}$。

$r(\mathbf{A})=r⟺\mathbf{A}$中存在$r$阶非$0$子式，且所有$r+1$阶子式为$0$。

$|\mathbf{A}|\ne 0⟺r(\mathbf{A})=n⟺\mathbf{A}$为满秩方阵；否则为降秩方阵。

3. 秩与伴随矩阵的关系

• 若$r(\mathbf{A})=n$，则$r({\mathbf{A}}^{\ast })=n$；
• 若$r(\mathbf{A})=n-1$，则$r({\mathbf{A}}^{\ast })=1$；
• 若$r(\mathbf{A})<n-1$，则$r({\mathbf{A}}^{\ast })=0$。

证明提要：第一种情况是显然的，第三种情况只需考虑子式即可。
对于第二种情况，由于$\mathbf{A}$有$n-1$阶非零子式，而该子式一定是某个元素的余子式，故${\mathbf{A}}^{\ast }$中有非零元，因此$r({\mathbf{A}}^{\ast })\ge 1$。
又$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=|\mathbf{A}|\mathbf{I}=0\mathbf{I}=\mathbf{O}$，则${\mathbf{A}}^{\ast }$的列向量都是线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$的解，而这个线性方程组的基础解系的秩为$n-r(\mathbf{A})=1$，故$r({\mathbf{A}}^{\ast })\le 1$。
综上，$r({\mathbf{A}}^{\ast })=1$。

4. 秩标准型

设$r({\mathbf{A}}_{m\times n})=r>0$，则必存在$m$阶可逆方阵$\mathbf{P}$和$n$阶可逆方阵$\mathbf{Q}$，使得$\mathbf{A}=\mathbf{P}{\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right]}_{m\times n}\mathbf{Q}$。

${\mathbf{A}}_{m\times n}$的秩为$m⟺\mathbf{A}$为行满秩矩阵（秩=行数）。

${\mathbf{A}}_{m\times n}$的秩为$n⟺\mathbf{A}$为列满秩矩阵（秩=列数）。

满秩分解：$\mathbf{A}=\mathbf{G}\mathbf{H}$，$\mathbf{G}$列满秩，$\mathbf{H}$行满秩，其中$\mathbf{G}=\mathbf{P}\left[\begin{array}{c}{\mathbf{I}}_r\\ \mathbf{O}\end{array}\right]$，$\mathbf{H}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\end{array}\right]\mathbf{Q}$。

5. 秩与分块矩阵的关系

$r\left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right]\right)=r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$。

证明提要：$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$分别化为秩标准型，然后用初等变换把${\mathbf{I}}_{r(\mathbf{B})}$挪到${\mathbf{I}}_{r(\mathbf{A})}$的右下角，形成${\mathbf{I}}_{r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})}$。

$r\left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right]\right)\ge r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$。

证明：$\mathbf{A}$有$r(\mathbf{A})$阶非零子式，$\mathbf{B}$有$r(\mathbf{B})$阶非零子式，故$\left[\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& \mathbf{B}\end{array}\right]$有$r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$阶非零子式，因此其秩不小于$r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})$。

6. 秩与向量组的关系

向量组的秩定义为其极大无关组中所含向量的个数。

矩阵行向量组的秩称为行秩，列向量组的秩称为列秩。矩阵三秩相等：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩。

若向量组$U$可由向量组$V$线性表示，则$r(U)\le r(V)$。

两个向量组等价，即一个向量组的所有向量都可以由另一个向量线性表示。若向量组$U$和$V$等价，则$r(U)=r(V)$。

7. 秩与线性方程组的关系

方程组有解当且仅当增广矩阵与系数矩阵的秩相等。

基础解系的秩为$n-r(\mathbf{A})$。

8. 秩与特征值的关系

矩阵$\mathbf{A}$的零特征值的代数重数至少为$n-r(\mathbf{A})$。这是因为代数重数大于等于几何重数，而齐次线性方程组$\mathbf{A}\mathbf{x}=0$基础解系的秩就是$\mathbf{A}$的零特征值的几何重数，其中基础解系的秩为$n-r(\mathbf{A})$。

9. 秩与相似对角化的关系

相似对角化不改变矩阵的秩；对于可相似对角化的矩阵，其秩等于非零特征值个数。

10. 秩与线性空间的关系

线性空间的维数为其基所含向量的个数。

若线性空间 W = span ⁡ { α 1 , α 2 , ⋯   , α m } W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m\} W=span{ α1​,α2​,⋯,αm​}，则$W$的维数为向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m α1​,α