矩阵函数推着玩

用自己浅薄的数学知识推一下反正也用不上的矩阵函数公式，加深并不存在的理解。
矩阵函数定义：设复变幂级数${\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{z}^m$的收敛半径是R，且在收敛域内$f(z)={\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{z}^m$，当矩阵A的谱半径$\rho (A)<R$，定义$f(A)={\sum }_{m=0}^{\infty }{c}_m{A}^m$，并称$f(A)$为矩阵A的函数 。

幂等矩阵函数：

$f(sI+tA)=(I-A)f(s)+Af(s+t)$

满足条件：

1. $A(I-A)=(I-A)A=O$
2. $A^n=A,(n=1,2,3,...)$
3. $I-A为幂等矩阵$

则有
$$\begin{array}{rl}f(sI+tA)& =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m(sI+tA{)}^m\\ & =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m[s(I-A)+(s+t)A{]}^m（拆，使用条件1）\\ & =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m[s^m(I-A{)}^m+(s+t{)}^m{A}^m]（使用条件2,3）\\ & =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m[s^m(I-A)+(s+t{)}^{m}A]\\ & =(I-A)\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m{s}^m+A\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m(s+t{)}^m\\ & =(I-A)f(s)+Af(s+t)\end{array}$$

幂单矩阵函数：

$f(sI+tA)=\frac{1}{2}[(I+A)f(s+t)+(I-A)f(s-t)]$

满足条件：

1. $A^2=AA=I$，即$I-A^2=(I+A)(I-A)=O$
2. 矩阵$A$为幂单矩阵$\iff$$\frac{1}{2}(A+I)$为幂等矩阵

则有
$$\begin{array}{rl}f(sI+tA)& =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m(sI+tA{)}^m\\ & =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m[\frac{1}{2}((I+A)(s+t)+(I-A)(s-t)){]}^m（拆，使用条件1）\\ & =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m[((s+t{)}^m(\frac{1}{2}(I+A){)}^m+(s-t{)}^m(\frac{1}{2}(I-A){)}^m)]（使用条件2,幂等条件2）\\ & =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m[((s+t{)}^m(\frac{1}{2}(I+A))+(s-t{)}^m(\frac{1}{2}(I-A)))]\\ & =\frac{1}{2}(I+A)\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m(s+t{)}^m+\frac{1}{2}(I-A)\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m(s-t{)}^m\\ & =\frac{1}{2}[(I+A)f(s+t)+(I-A)f(s-t)]\end{array}$$

幂零矩阵函数：

$f(sI+tA)=If(s)+tA{f}^{\prime }(s)$

满足条件：

1. $A^2=AA=O$

则有
$$\begin{array}{rl}f(sI+tA)& =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m(sI+tA{)}^m（拆，使用条件1）\\ & =\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m[s^{m}I+m{s}^{m-1}tA]\\ & =I\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m{s}^m+tA\sum _{m=0}^{\infty }{c}_{m}m{s}^{m-1}\\ & =I\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m{s}^m+tA(\sum _{m=0}^{\infty }{c}_m{z}^m{)}^{\prime }{|}_{z=s}\\ & =If(s)+tA{f}^{\prime }(s)\end{array}$$