前置知识：
定理1 设AAA为nnn阶方阵，若∃\exists∃可逆矩阵PPP使得P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ（其中Λ\LambdaΛ为对角矩阵），则相似变换矩阵PPP的每一列为AAA的特征向量。
证明：将PPP按列分块得P=[x1,x2,⋯ ,xn]P=[x_1,x_2,\cdots,x_n]P=[x1,x2,⋯,xn]。
P−1AP=Λ⟺AP=PΛ⟺A[x1,x2,…,xn]=[x1,x2,⋯ ,xn][λ1λ2⋱λn]⟺[Ax1,Ax2,⋯ ,Axn]=[λ1x1,λ2x2,⋯ ,λnxn]P^{-1}AP=\Lambda\Longleftrightarrow\\AP=P\Lambda \Longleftrightarrow\\A[x_1,x_2,\dots,x_n]=[x_1,x_2,\cdots,x_n]\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}\Longleftrightarrow\\ [Ax_1,Ax_2,\cdots,Ax_n]=[\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\cdots,\lambda_nx_n]P−1AP=Λ⟺AP=PΛ⟺A[x1,x2,…,x
【线性代数笔记】矩阵的特征值和特征向量在哪些变换过程中变化？
于 2022-02-17 11:22:58 首次发布
本文概述了矩阵相似变换定理，探讨了特征向量和特征值的性质，包括特征向量作为矩阵变换后的保持性，以及多项式函数、逆矩阵和转置矩阵对特征值的影响。通过定理4，展示了矩阵相似性如何确保特征值的一致性，并举例说明了特征向量的转换关系。
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