【线性代数笔记】正定矩阵及其性质

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#线性代数 #矩阵 #数学

于 2021-12-20 13:13:20 首次发布

本文详细介绍了正定矩阵及其相关概念，包括半正定、负定等，并给出了多种判断正定性的方法，如利用特征值、顺序主子式等。此外，还通过例题展示了如何应用这些理论。

定义（正定二次型与正定矩阵） 设 $f(x)=xTAxf(\bm{x})=\bm{x}^TA\bm{x}$ 是一个 $n$ 元二次型，如果对于任意非零向量 $x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn\bm{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\in \bm{R}^n$ ，都有 $xTAx>0\bm{x}^TA\bm{x}>0$ ，则称 $f$ 为正定二次型，并称实对称矩阵 $A$ 为正定矩阵。
定义（半正定、负定、半负定、不定）
(1) 半正定： $∀x∈Rn\forall \bm{x}\in \bm{R}^n$ ， $x≠0\bm{x}\ne0$ ，都有 $xTAx≥0\bm{x}^TA\bm{x}\ge 0$ ，且 $∃x0≠0\exists \bm{x}_0\ne 0$ ，使得 $x0TAx0=0\bm{x}_0^TA\bm{x}_0=0$ 。
(2) 负定： $∀x∈Rn\forall \bm{x}\in \bm{R}^n$ ， $x≠0\bm{x}\ne0$ ，都有 $xTAx<0\bm{x}^TA\bm{x}< 0$ 。
(3) 半负定： $∀x∈Rn\forall \bm{x}\in \bm{R}^n$ ， $x≠0\bm{x}\ne0$ ，都有 $xTAx≤0\bm{x}^TA\bm{x}\le 0$ ，且 $∃x0≠0\exists \bm{x}_0\ne 0$ ，使得 $x0TAx0=0\bm{x}_0^TA\bm{x}_0=0$