目录
1 前言
内容为自己的学习总结,其中多有借鉴他人的地方,最后一并给出链接。
2 定义
在机器学习和谱图理论的学习中,总会用到正定矩阵半正定矩阵概念,了解它们的概念是十分必要的。
定义:正定矩阵(positive definite, PD)
给定一个大小为 n × n n×n n×n的实对称矩阵 A A A,若对于任意长度为 n n n的非零向量 X X X,有 X T A X > 0 X^TAX>0 XTAX>0恒成立,则矩阵 A A A是一个正定矩阵。
定义:半正定矩阵(positive semi-definite, PSD)
给定一个大小为 n × n n×n n×n的实对称矩阵 A A A,若对于任意长度为 n n n的非零向量 X X X,有 X T A X ≥ 0 X^TAX \ge 0 XTAX≥0恒成立,则矩阵 A A A是一个正定矩阵。
看个一个例子(来源参考文献【3】):
(1)单位矩阵 I ∈ R 2 × 2 I \in \mathbb{R}^{2 \times 2} I∈R2×2是不是正定矩阵?
设向量 x = [ x 1 x 2 ] ∈ R 2 \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \in \mathbb{R}^{2} x=[x1x2]∈R2为非 0 0 0向量,则
x T I x = x T x = x 1 2 + x 2 2 \boldsymbol{x}^{T} I \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} xTIx=xTx=x12+x22
由于 x ≠ 0 \boldsymbol{x} \neq \mathbf{0} x=0,故而 x T I x > 0 \boldsymbol{x}^{T} I \boldsymbol{x}>0 xTIx>
正定矩阵解析

本文深入讲解了正定矩阵与半正定矩阵的概念及其几何意义,通过实例解释了这些矩阵的特征值为何必须大于0,并探讨了它们在机器学习中的应用。
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