首先我们祭出最强大的武器——定义：
定义 如果在区间III上，F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)，则称FFF是fff在III上的一个原函数。
定理（Newton-Leibniz公式） 设f∈R[a,b]f \in \mathcal{R}[a,b]f∈R[a,b]，且fff在区间[a,b][a,b][a,b]上有一个原函数FFF，则∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)∫abf(x)dx=F(b)−F(a)。
定理（定积分的换元法） 设函数fff在有限区间III上连续，x=ψ(t)x=\psi(t)x=ψ(t)在区间[α,β][\alpha,\beta][α,β]（或[β,α][\beta,\alpha][β,α]）上有连续导数，且ψ\psiψ的值域R(ψ)⊆IR(\psi)\subseteq IR(ψ)⊆I，则∫abf(x)dx=∫αβf[ψ(t)]ψ′(t)dt\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f[\psi(t)]\psi'(t)\text{d}t∫abf(x)dx=∫αβf[ψ(t)]ψ′(t)
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