每日一题/002/微积分/变上限积分函数求导问题

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抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

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该博客介绍了两种不同的方法来求解函数ddx∫0xsin⁡(x−t)2 dt的导数。第一种方法利用换元法，第二种方法应用了微积分的基本定理。两种方法都得出结论ddx∫0xsin⁡(x−t)2 dt=sin⁡x2。这是高等数学中求解复杂数学问题的典型示例。

题目（2018年秋季学期中国农业大学高数A期末考试）：
求
$dx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\sin(x-t)^2\,\mathrm{d}x$

参考答案：
令

$x - t = u$

则

$du=sin⁡x2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\sin(x-t)^2\,\mathrm{d}t =&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^0\sin u^2\,\mathrm{d}(x-u)\\ =&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^0\sin u^2\cdot(-1)\,\mathrm{d}u\\ =&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\sin u^2\,\mathrm{d}u\\ =&\sin x^2 \end{aligned}$

2020年12月31日14:08:44

解法二：
$dt=sin⁡(x−x)2+∫0xddxsin⁡(x−t)2dt=∫0x2(x−t)cos⁡(x−t)2=−sin⁡(x−t)2∣0x=sin⁡x2\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\sin(x-t)^2\,\mathrm{d}t &=\sin(x-x)^2+\int_0^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(x-t)^2\mathrm{d}t\\ &=\int_0^x2(x-t)\cos(x-t)^2\\ &=-\sin(x-t)^2|_0^x\\ &=\sin x^2 \end{aligned}$