20、圆的弧与角及基本几何构造知识详解

圆的弧与角及基本几何构造知识详解

1. 圆的弧与角相关知识

1.1 学习目标

掌握运用几何原理解决圆内、圆上和圆外形成的角的问题，以及解决与内切圆和外切圆相关的问题。

1.2 圆内形成的角

• 圆心角定理 ：圆心角等于它所截的弧。例如，若弧(AB = 78°)，则圆心角(\angle AOB = 78°)。
• 两弦相交形成的角 ：圆内两弦相交形成的角等于两截弧之和的一半。若弦(CD)和(EF)相交于点(P)，则(\angle EPD=\frac{1}{2}(CF + DE))。
  • 若(CF = 106°)，(ED = 42°)，则(\angle EPD=\frac{1}{2}(106° + 42°) = 74°)。
  • 若(\angle EPD = 64°12’)，(CF = 95°58’)，则可通过(\angle EPD=\frac{1}{2}(CF + DE))计算得出(DE = 32°26’)。
• 圆周角定理 ：圆周角等于它所截弧的一半。若弧(AC = 105°)，则圆周角(\angle ABC=\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(105°) = 52°30’)。

1.3 弧长公式

弧长等于弧的度数与(360°)的比值乘以圆的周长，即(Arc Length = \frac{Arc Degrees}{360°}(2\pi r)