13、信号处理与向量运算知识详解

信号处理与向量运算知识详解

1. 常系数差分方程的传递函数

1.1 传递函数的推导

在处理常系数差分方程时，我们可以通过特定方法得到其传递函数。假设差分方程形式为：
[y(k)=\sum_{l = 0}^{m}b_{l}u(k - l)-\sum_{l = 1}^{n}a_{l}y(k - l)]
假设输入和输出都具有(u(k)=Ue^{j\Omega k})和(y(k)=Ye^{j\Omega k})的形式，其中(\Omega)是归一化频率。将这些表达式代入差分方程，经过推导可得传递函数(H(z))的表达式为：
[H(z)=\frac{\sum_{l = 0}^{m}b_{l}z^{-l}}{1+\sum_{l = 1}^{n}a_{l}z^{-l}}]
这里(z = e^{j\Omega})。传递函数是两个多项式的比值，分子的零点称为传递函数的零点，分母的零点称为极点。如果差分方程的系数是实数，根据代数基本定理，零点和极点要么是实数，要么是成对的共轭复数。

1.2 示例

例如，对于差分方程(y(k)=u(k)+2y(k - 1)-3y(k - 2))，通过直接代入上述公式，可得到其传递函数为：
[H(z)=\frac{1}{1 - 2z^{-1}+3z^{-2}}=\frac{z^{2}}{z^{2}-2z + 3}]

1.3 传递函数的意义

传递函数能完全描述任何线性系统。在后续的线性系统课程中会学到，传递函数的(z)变换给出差分方程解的权重，而传递函数极点的值决定了解的系统模式，这些模式是电路固有的，不依赖于输入函数的具体形式。此外，递归滤波器的研究可