29、量子熵不等式、可恢复性与经典信道互信息

量子熵不等式、可恢复性与经典信道互信息

1. 量子熵不等式与可恢复性

1.1 量子变换关系

在量子信息领域，有如下重要的量子变换关系：
[
U_{M_{A\rightarrow X}(\rho_A), -t}(\cdot) = \left(\sum_{x} [\langle\phi_x| A\rho_A|\phi_x\rangle_A]^{-it} |x\rangle\langle x|_X\right) (\cdot) \left(\sum {x’} [\langle\phi_{x’}| A \rho_A|\phi {x’}\rangle_A]^{it} |x’\rangle\langle x’| X\right)
]
当将 (M {A\rightarrow X}) 与 (U_{M_{A\rightarrow X}(\rho_A), -t}) 组合时，相位相互抵消，得到 (U_{M_{A\rightarrow X}(\rho_A), -t} (M_{A\rightarrow X}(\cdot)) = M_{A\rightarrow X}(\cdot))。进而可以推出：
[
(P_{\rho_A, M_{A\rightarrow X}} \circ M_{A\rightarrow X})(\cdot) = \rho_A^{1/2} M^{\dagger} \left([M_{A\rightarrow X} (\rho_A)]^{-1/2} M_{A\rightarrow X}(\cdot) [M_{A\rightarrow X}(\rho_A)]^{-1/2}\right