20、量子熵与信源编码：经典信息量子编码及相关定理解析

量子熵与信源编码：经典信息量子编码及相关定理解析

1. 经典信息编码为量子态

在信息传输过程中，有一种信源编码方式是将经典信息编码为量子态，再通过测量进行解码。下面是一个具体场景：

1.1 场景描述

设 $X$ 和 $Z$ 为经典寄存器，其经典状态集分别为 $\Sigma$ 和 $\Gamma$，$Y$ 为寄存器。$p \in P(\Sigma)$ 是一个概率向量，${\rho_a : a \in \Sigma} \subset D(Y)$ 是一组状态，$\mu: \Gamma \to Pos(Y)$ 是一个测量。
- 爱丽丝（Alice）从一个源根据概率向量 $p$ 随机获取一个元素 $a \in \Sigma$，存储在寄存器 $X$ 中。
- 她将寄存器 $Y$ 制备为状态 $\rho_a$，并将 $Y$ 发送给鲍勃（Bob）。
- 鲍勃用测量 $\mu$ 对 $Y$ 进行测量，并将测量结果存储在经典寄存器 $Z$ 中。这个测量结果代表了鲍勃获得的关于 $X$ 经典状态的信息。

1.2 概率状态

假设爱丽丝和鲍勃按上述场景操作，那么 $(X, Z)$ 对将处于概率状态 $q \in P(\Sigma \times \Gamma)$，其定义为：
$q(a, b) = p(a)\langle\mu(b), \rho_a\rangle$，对于每一对 $(a, b) \in \Sigma \times \Gamma$。
对于定义为 $\eta(a) = p(a) \rho_a$（对于每个 $a \in \Sigma$）的系综 $\eta: \Sigma \to Pos(Y)$，概率向量