28、量子熵不等式与可恢复性：Petz恢复映射、Rényi信息测度及相关定理证明

量子熵不等式与可恢复性：Petz恢复映射、Rényi信息测度及相关定理证明

1. 复插值定理相关

在量子信息领域，复插值定理有着重要的应用。通过一些不等式关系，我们可以对“中间”范数进行估计。例如，对于(\vert g(1 + it)\vert = \vert Tr{X(1 + it)G(1 + it)}\vert) ，有如下不等式链：
(\vert g(1 + it)\vert \leq\parallel X(1 + it)\parallel_{q_1} \parallel G(1 + it)\parallel_{p_1}=\parallel G(1 + it)\parallel_{p_1})
利用这些不等式对相关式子进行上界估计，从而得到特定的结果。这里我们是通过全纯算子族(G(z))进行插值，进而获取关于范数的估计。

2. Petz恢复映射

Petz恢复映射在量子信道的研究中具有关键作用。下面我们详细介绍其定义、性质以及特殊情况。
- 定义 ：设(\sigma \in L(H))为半正定算子，(N : L(H) \to L(H’))为量子信道。对于(Q \in L(H’))，Petz恢复映射(P_{\sigma,N} : L(H’) \to L(H))定义为：
(P_{\sigma,N}(Q) \equiv\sigma^{1/2}N^{\dagger} \left{[N(\sigma)]^{-1/2} Q [N(\sigma)]^{-1/2}\right}\sigma^{1/2})
- 性质
- 线性与完全正定性 </