27、量子熵的连续性与恢复性定理解析

量子熵的连续性与恢复性定理解析

1. 量子熵连续性相关定理

当两个密度算子 $\rho$ 和 $\sigma$ 在迹距离上接近时，我们通常期望它们之间的保真度接近 1，并且它们的熵也应该相近。下面介绍几个重要的不等式定理。

1.1 Fannes–Audenaert 不等式

设 $\rho, \sigma \in D(H)$，且 $\frac{1}{2} |\rho - \sigma| 1 \leq \varepsilon \in [0, 1]$，则有不等式：
[
|H(\rho) - H(\sigma)| \leq
\begin{cases}
\varepsilon \log [\dim(H) - 1] + h_2(\varepsilon) & \text{if } \varepsilon \in [0, 1 - 1/ \dim(H)] \
\log \dim(H) & \text{else}
\end{cases}
]
综合起来，有通用的界：
[
|H(\rho) - H(\sigma)| \leq \varepsilon \log \dim(H) + h_2(\varepsilon)
]
证明思路：先证明当 $\varepsilon \in [0, 1 - 1/ \dim(H)]$ 时，$H(\rho) - H(\sigma) \leq \varepsilon \log [\dim(H) - 1] + h_2(\varepsilon)$。通过定义一个完全去相位信道 $\Delta {\sigma}$，利用熵的性质和迹