17、寻找具有有界间隙的最大对子

寻找具有有界间隙的最大对子

1. 引言

在字符串处理中，对子指的是相同子串的两次出现。若子串的两次出现不能在不使其不同的情况下向左或向右扩展，则该对子为最大对子。对子的间隙是指子串两次出现之间的字符数。例如，在字符串 “maximal” 中，子串 “ma” 的两次出现构成了一个间隙为 2 的最大对子。

以往的算法虽能在 $O(n + z)$ 时间和 $O(n)$ 空间内报告字符串中的所有最大对子（其中 $n$ 为字符串长度，$z$ 为报告的对子数量），但这些算法对最大对子的间隙没有限制，导致许多报告的对子可能是重叠的或在字符串中相距很远，这在计算生物学的许多应用中并不理想。

本文将介绍如何在 $O(n \log n + z)$ 时间和 $O(n)$ 空间内找到字符串中间隙在上下界区间内的所有最大对子。允许的间隙区间可以选择为仅当间隙在常数 $c_1$ 和 $c_2$ 之间时报告最大对子，更一般地，也可以选择为仅当对子 $\alpha$ 的间隙在 $g_1(|\alpha|)$ 和 $g_2(|\alpha|)$ 之间时报告，其中 $g_1$ 和 $g_2$ 是可以在常数时间内计算的函数。如果去除允许间隙的上界，仅要求报告的对子 $\alpha$ 的间隙至少为 $g_1(|\alpha|)$，则运行时间可减少到 $O(n + z)$。

1.1 相关问题研究

寻找字符串中重复子串出现的问题已得到广泛研究。大部分工作集中在寻找连续重复子串出现的高效方法。形式为 $\alpha\alpha$ 的子串出现被称为平方或串联重复。大多数著名的寻找字符串中所有串联重复出现的方法需要 $O(n \log n + z)$ 时间。也有工作致力于检测字符串是否