17、字符串处理算法：最大对与最大唯一匹配的高效解决方案

字符串处理算法：最大对与最大唯一匹配的高效解决方案

在字符串处理领域，寻找最大对和最大唯一匹配是重要的研究问题，广泛应用于生物信息学、文本挖掘等领域。本文将详细介绍解决这些问题的高效算法，包括最大对有界间隙问题的处理以及最大唯一匹配的空间经济算法。

最大对有界间隙问题

在之前的问题版本中，对字符串对的间隙没有任何限制。例如，一对字符串 $P$ 在 $S_i$ 中的间隙长度可能为 1，而在 $S_j$（$i \neq j$）中的间隙长度可能为 $|S_j| - c_1$（$c_1$ 为任意常数）。而在当前版本中，要求在集合 $S$ 的所有字符串中出现的字符串对的间隙必须相同。若字符串对 $P$ 在 $S_i$ 中的间隙为 $g_i$，则它在所有 $S_j \in S$（$i \neq j$）中的间隙也必须恰好为 $g_i$。目标是设计一个复杂度为 $O(n \cdot polylog(n) + k \cdot \alpha \cdot log n)$ 的算法。

• 基础结构与问题 ：基础结构是之前子部分描述的结构，但在时间复杂度中维护输出大小更为复杂。假设兄弟节点 $v$ 和 $w$ 的叶列表为 $L_{v,i}$ 和 $L_{w,i}$，它们子列表的 $(\sigma - 1) \cdot \sigma$ 笛卡尔积产生的所有最大对都是候选最大对，需要测试它们是否以相同间隙出现在集合 $S$ 的所有其他字符串中。然而，$(\sigma - 1) \cdot \sigma$ 笛卡尔积可能会产生 $O(n^2)$ 个候选解。在最坏情况下，当 $|S_1| = |S_2| = \cdots = |S_k| = n/k$ 时，对的数量可能为