49、随机游走：从人类行为到生物分子的奇妙之旅

随机游走：从人类行为到生物分子的奇妙之旅

1. 相关随机游走与人类行为

在研究人类安静站立时的姿势摆动以及步态步幅变异性时，相关随机游走的概念发挥了重要作用。

当人安静站立在测力平台上闭眼两分钟时，压力中心会产生波动。随着时间间隔Δ的变化，压力中心波动的均方位移 〈R²(Δ)〉 也会发生改变。在一定时间尺度内，增加Δ会使 〈R²(Δ)〉 增大；当Δ大于极限环周期的量级时，状态转变会导致 〈R²(Δ)〉 增加速率降低；当Δ足够长时，〈R²(Δ)〉 等于平均位移。这表明随机扰动（噪声）在塑造人类安静站立时的姿势摆动波动中起到了作用。以下是支持该观点的三个额外观察：
- 同一个人在不同日子可能表现出不同的姿势摆动模式。
- 对跟腱施加低于感知阈值的250 - Hz振动可以改变姿势摆动模式。
- 使用噪声或周期性刺激可以改善人类平衡，表现为压力中心波动变异性的降低。

步态步幅变异性也可以建模为相关随机游走。但步态步幅时间序列存在噪声和短程非平稳性，传统的均方位移测量方法（16.10）并不适用。此时，可以使用去趋势波动分析（DFA）来获得更可靠的估计。实验观察发现：
[ \langle X^2(\Delta) \rangle_{DFA} \approx \Delta^H ]
其中，符号 〈X²(Δ)〉DFA 表示使用DFA方法确定的 〈X²(Δ)〉。简单随机游走对应 H = 0.5，具有长程相关性的分数布朗运动对应 0.5 < H ≤ 1。对于健康活跃的个体，H 处于 0.5 < H ≤ 1.0 的较高范围；而在有跌倒史的老年人和患有基底神经节疾病（如帕金森病和亨廷顿病）的人群中，H 接近 0.5。DFA分析的一个实际问题是 H 对数据中的低频趋势敏感，有人建议使用频率加权功率谱来更可靠地确定生理时间序列（如心率）的 H 值。

此外，随机游走分析的应用不仅限于物理位移的情况。例如，可以将DNA碱基序列转化为随机游走：如果位置 i 处是嘧啶（胸腺嘧啶 (T) 或胞嘧啶 (C)），则随机游走者向右走一步；如果是嘌呤（腺嘌呤 (A) 或鸟嘌呤 (G)），则向左走一步。对这种随机游走进行DFA分析发现，一些DNA序列存在长程相关性（0.5 < H ≤ 1.0），但并非所有序列都如此。

2. 扩散中的图景

仅关注 〈R²(Δ)〉 时，研究者容易忽略随机游走许多有趣且违反直觉的特性。通过计算机程序生成的二维随机游走的四个实现可以看出，随机游走者在某些区域停留的时间比其他区域更长。这是因为从一个区域移动到距离较远的另一个区域需要多个连续步骤都朝同一方向，这种情况发生的概率很小，所以远距离区域之间的移动很少发生。这一特性引发了两个问题：
- 随机游走的这种性质对寻找目标有什么影响？
- 寻找目标的最优搜索模式是什么？

2.1 寻找配偶

雌性蚕蛾通过释放性吸引分子（信息素）到空气中吸引雄性。雄性蚕蛾的触角非常敏感，能够在数公里外检测到雌性蚕蛾。蚕蛾的信息素受体位于锥形感觉毛（毛形感器）中，其结构使得几乎每个通过的信息素分子都能被捕获并引发神经冲动。

可以将信息素受体建模为球体。在三维空间中，从距离球体半径为 b 处释放的粒子接触到半径为 a 的球体表面的概率为：
[ p_a = \frac{a}{b} ]
信息素分子从距离 r = b 处释放后，与球体表面接触的次数可以通过概率计算得出。信息素分子进行 n 次往返后离开的概率为 ( p_a^n(1 - p_a) )，则信息素分子在离开前进行往返的平均次数为：
[ \langle n \rangle = \sum_{n = 0}^{\infty} n p_a^n(1 - p_a) = \frac{a}{b - a} ]
当信息素分子足够接近感器（即 b - a 变小时），与感器表面的接触次数会急剧增加，从而增加了与感觉受体结合的可能性。而且，有许多小受体比少数大受体的效果更好，这与雄性蚕蛾的信息素感觉器官的构造相符。

2.2 双螺旋上的促进扩散

在基因表达调控中，阻遏蛋白分子需要找到DNA分子上的启动子位点。Smoluchowski方程给出了受扩散限制的双分子反应的极限关联速率常数 ( k_{assoc} ) 为：
[ k_{assoc} = 4\pi D a ]
其中，a 是目标的大小，D 是扩散系数。然而，实验测量表明 ( k_{assoc} ) 比该方程预测的扩散极限大约大100倍。

这是因为存在促进扩散机制。阻遏蛋白分子在寻找结合位点时采用“1D/3D机制”，即它在溶液中进行三维扩散，遇到DNA分子后会非特异性地结合到DNA上，并沿着DNA纤维进行一维随机游走。包含在启动子位点两侧的非特异性结合区域会增加目标大小 a，从而通过减小 (16.37) 中的 b - a 来增加接触次数。单分子荧光成像技术的发展有助于研究这一机制，据估计，阻遏蛋白分子在DNA上滑动的时间约为毫秒级，在此期间它会沿着约50个碱基对（约20 nm的距离）移动，并穿插着大于200 nm的长跳跃。

下面是一个简单的mermaid流程图，展示阻遏蛋白分子寻找启动子位点的过程：

graph LR
    A[阻遏蛋白在溶液中三维扩散] --> B[遇到DNA分子]
    B --> C[非特异性结合到DNA]
    C --> D[沿DNA一维随机游走]
    D --> E[找到启动子位点]

3. 最优搜索模式：Lévy飞行

关于随机游走搜索模式的最优性问题，通常在Lévy飞行的背景下进行讨论。Lévy飞行是一种随机游走，其步长 ℓ 的概率 P(ℓ) 服从幂律。这引发了一个问题：生物体是否使用Lévy型搜索模式来定位目标？

以大脑中微胶质细胞的运动为例，在没有刺激时，大多数微胶质细胞保持静止，约3%进行巡逻。当受到感染或偏头痛伴随的扩散性抑制等刺激时，移动的微胶质细胞数量会急剧增加。微胶质细胞的运动可以建模为二维随机游走，其速度变化 ΔV 可以通过以下公式计算：
- 第 j 个微胶质细胞在 (x, y) 平面内的移动距离：
[ d_j(t) = \sqrt{(x_j(t + \Delta t) - x_j(t))^2 + (y_j(t + \Delta t) - y_j(t))^2} ]
其中，Δt = 1 min 用于微胶质细胞运动。
- 速度：
[ V_j(t_j) = \frac{d_j(t)}{\Delta t} ]
- 速度变化：
[ \Delta V = V_j(t_i + \Delta t) - V_j(t_i) ]

将大量迁移微胶质细胞的 ΔV 分布与高斯概率密度函数预测的分布进行比较，发现微胶质细胞的 ΔV 分布具有“宽肩”特征。Lévy飞行的 ΔV 服从幂律分布：
[ P(\Delta V > s, \Delta t) \approx s^{-\alpha} ]
其中，α 是Lévy指数。经过多次步骤后，Lévy飞行的概率分布收敛到Lévy - 稳定分布：
[ L_{\alpha}(\Delta V, \Delta t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\gamma \Delta t q^{\alpha}) \cos(q \Delta V) dq ]
最适合微胶质细胞 ΔV 分布的 α 约为1，一般认为 α ≈ 1 的Lévy飞行对于随机搜索模式是最优的。

然而，仅仅证明实验数据符合Lévy分布并不足以得出生物过程表现出Lévy飞行的结论。因为所有数据集都是有限长度的，其他统计分布可能实际上更适合数据。当有合适的模型预测应该存在Lévy飞行时，结论会更有说服力。以下是一些模型和实验观察都支持存在Lévy飞行的例子：
- 指尖平衡棍子
- 鱼类觅食
- 细胞运动

综上所述，随机游走的概念在多个领域都有重要应用，从人类的姿势和步态到生物分子的相互作用，再到细胞的运动，它为我们理解这些复杂的现象提供了一个有力的工具。通过对相关随机游走、扩散图景和最优搜索模式的研究，我们可以更深入地了解生物系统的运作机制。

随机游走：从人类行为到生物分子的奇妙之旅

4. Fokker - Planck方程

之前在第15章中讨论的扩散的Langevin方法假设噪声的影响由连续随机变量 ξ(t) 描述，即布朗粒子的运动是溶剂分子连续轰击的结果。至少在理论上，概率分布函数 P(x, t) 的时间演化可以进行研究。

Fokker - Planck方程为描述随机过程提供了另一种视角。它是描述概率分布函数随时间演化的偏微分方程，在处理随机游走等问题中具有重要作用。不过在本文所涉及的内容里，没有详细给出Fokker - Planck方程的具体形式，但我们知道它与之前讨论的随机游走、扩散等过程有着紧密的联系。

下面通过一个表格来总结不同随机过程相关的关键参数和特点：
|随机过程|关键参数|特点|
| ---- | ---- | ---- |
|人类安静站立姿势摆动|〈R²(Δ)〉、Δ、H|〈R²(Δ)〉随Δ变化，H反映相关性，受噪声影响|
|步态步幅变异性|〈X²(Δ)〉DFA、H|使用DFA方法估计，H值体现不同人群特征|
|DNA序列随机游走|H|部分序列存在长程相关性，通过H值判断|
|蚕蛾信息素扩散|pa、〈n〉|pa为接触球体概率，〈n〉为接触次数，与感器结构有关|
|基因表达阻遏蛋白扩散|kassoc、a、D|kassoc为关联速率常数，受a和D影响，存在促进扩散机制|
|微胶质细胞运动|ΔV、α、γ|ΔV体现速度变化，α为Lévy指数，γ为缩放因子|

5. 不同领域随机游走的关联与启示

从上述不同领域的随机游走研究可以看出，虽然它们涉及的对象和场景各不相同，但都遵循着随机游走的基本原理。人类的姿势摆动和步态步幅变异性反映了人体神经系统和运动系统在随机扰动下的行为；DNA序列的随机游走揭示了生物遗传信息中的内在规律；蚕蛾信息素扩散和基因表达阻遏蛋白扩散则体现了生物分子在微观层面的相互作用；微胶质细胞的运动展示了细胞在生物组织中的搜索策略。

这些不同领域的研究相互关联，为我们提供了更全面的视角来理解生物系统的复杂性。例如，人类运动中的随机游走特性可能与生物分子的扩散机制有着相似的底层逻辑，都受到随机因素和环境因素的影响。而生物分子的扩散机制又可能为设计更高效的药物输送系统提供灵感，就像阻遏蛋白在DNA上的促进扩散机制一样。

下面是一个mermaid流程图，展示不同领域随机游走研究之间的关联：

graph LR
    A[人类姿势与步态] --> B[生物系统随机规律]
    C[DNA序列] --> B
    D[蚕蛾信息素扩散] --> B
    E[基因表达阻遏蛋白扩散] --> B
    F[微胶质细胞运动] --> B
    B --> G[理解生物系统复杂性]
    G --> H[应用于药物输送等领域]

6. 随机游走研究的未来展望

随着测量技术的不断发展和数据集的不断增大，我们对随机游走的理解将更加深入。在人类健康领域，通过对步态步幅变异性等随机游走特征的研究，可以更早地发现潜在的健康问题，如帕金森病等神经系统疾病。在生物分子领域，进一步研究阻遏蛋白等分子的扩散机制，可能有助于开发更有效的基因治疗方法。

对于Lévy飞行等最优搜索模式的研究也具有广阔的前景。如果能够确定生物体使用Lévy型搜索模式的具体条件和机制，我们可以将其应用于机器人搜索、无人机探测等领域，提高搜索效率。

未来的研究还可以关注不同随机过程之间的相互作用。例如，人类运动中的随机因素如何与生物分子的扩散过程相互影响，这可能会揭示出更复杂的生物系统运作机制。

7. 总结

随机游走作为一个基础而又强大的概念，贯穿了从人类行为到生物分子的多个领域。通过对相关随机游走、扩散图景和最优搜索模式的研究，我们不仅能够解释许多生物现象，还能为解决实际问题提供思路。

从人类安静站立时姿势摆动的微妙变化，到生物分子在微观世界中的扩散和相互作用，再到细胞在生物组织中的运动搜索，随机游走的规律无处不在。Fokker - Planck方程等理论工具为我们研究这些随机过程提供了数学基础。

在未来，随着研究的不断深入，随机游走的应用范围将不断扩大，为我们带来更多的惊喜和突破。无论是在医学、生物学还是工程学等领域，随机游走都将继续发挥重要作用，帮助我们更好地理解和改造世界。

以下是一个列表总结本文的主要内容：
1. 相关随机游走在人类姿势摆动和步态步幅变异性研究中，揭示了噪声影响和不同人群的特征。
2. 扩散中的图景通过蚕蛾信息素扩散和基因表达阻遏蛋白扩散，展示了随机游走在生物分子层面的应用。
3. 最优搜索模式Lévy飞行在微胶质细胞运动等方面有体现，α ≈ 1 的Lévy飞行被认为是最优的，但判断需结合模型。
4. Fokker - Planck方程为研究随机过程提供了另一种理论视角。
5. 不同领域随机游走研究相互关联，为理解生物系统复杂性和应用于实际领域提供了思路。
6. 未来研究在健康、生物分子、搜索模式等方面有广阔前景，还可关注不同随机过程的相互作用。