9、量子信道、映射与算法的深度解析

量子信道、映射与算法的深度解析

1. 量子信道与映射基础

量子系统中的信道和映射是理解量子信息处理的关键概念。在量子领域，我们不仅要处理纯量子系统，还需考虑经典系统作为特殊情况的表现。

1.1 经典系统作为特殊情况

此前我们主要探讨纯量子系统，其可能的可观测量由希尔伯特空间上的所有有界算子给出。而经典系统可视为特殊情况，对测量有所限制，即只能测量在某个固定基下为对角矩阵的可观测量。由于对角矩阵可交换，这等同于选择可观测量的一个交换子代数。

从量子系统过渡到经典子描述可通过特定信道 $P$ 实现，该信道会消除所有非对角项（有时称为“干涉项”）。当 $e_1, \ldots, e_d \in H$ 表示我们想要过渡到经典情况的特定正交基时，有：
[P(\rho) = \sum_{\mu} |e_{\mu}\rangle\langle e_{\mu}|\rho|e_{\mu}\rangle\langle e_{\mu}|]
这也被称为完全冯·诺伊曼测量，此求和中的第 $\mu$ 项是相应的基态，乘以获得结果 $\mu$ 的概率 $\langle e_{\mu}|\rho|e_{\mu}\rangle$。容易验证，该信道的海森堡绘景公式与上式完全相同。

显然，经典可观测量代数中元素 $P(A)$ 的指定仅需 $d$ 个实参数，而非量子情况下的 $d^2$ 个。因此，具有经典输入或输出的信道也可用更少参数描述。例如，具有经典输入的信道 $T$ 满足 $T = TP$，因为其输出仅取决于输入矩阵的对角矩阵元素，可表示为：
[T(\rho) = \sum_{\mu} \langle e_{\mu}|\rho|e_{\mu