8、量子信息处理中的通道与映射

量子信息处理中的通道与映射

1. 引言

在量子系统中，如捕获的离子串，处理其所携带的量子信息通常需要执行多个不同性质的步骤。这些步骤包括自由时间演化（其中包含与环境不可避免的相互作用）、受控时间演化（例如在量子计算机中应用“量子门”）、制备以及测量等。为了统一描述这些不同的操作，我们需要一个合适的框架。

2. 完全正映射

2.1 基本概念

我们将每个处理步骤视为一个通道，它能将系统的初始状态 $ρ_{in}$ 转换为处理完成后的输出状态 $ρ_{out}$。从数学角度来看，考虑两个具有（有限）维度 $d$ 和 $d’$ 的希尔伯特空间 $H$ 和 $H’$，分别记为“初始”和“目标”希尔伯特空间，以及它们上的（有界）算子代数 $B(H)$ 和 $B(H’)$。输入和输出状态由 $H$ 和 $H’$ 上的密度算子 $ρ_{in}$ 和 $ρ_{out}$ 描述。因此，通道可以看作是一个映射 $T$，它将输入状态 $ρ_{in}$ 转换为输出状态 $T(ρ_{in}) = ρ_{out}$。

每个物理上合理的操作都应遵循状态的混合规则。即如果 $ρ_{in}^{(j)}$（$j = 1, 2$）分别转换为 $ρ_{out}^{(j)}$，那么混合状态 $ρ_{in} = λρ_{in}^{(1)} + (1 - λ)ρ_{in}^{(2)}$（$0 < λ < 1$）将被映射为 $ρ_{out} = λρ_{out}^{(1)} + (1 - λ)ρ_{out}^{(2)}$。这表明 $T$ 可以扩展为一个线性映射 $T: B(H) → B(H’)$，并且由于 $T$ 将密度矩阵映射为密度矩阵，它必须满足以下两个条件：