6、量子信息基础概念与量子信道详解

量子信息基础概念与量子信道详解

1. 纯化的酉等价性

在复欧几里得空间中，有如下定理：设 (X) 和 (Y) 为复欧几里得空间，(u, v \in X \otimes Y) 为向量，且 (Tr_Y(uu^ ) = Tr_Y(vv^ ))，则存在酉算子 (U \in U(Y)) 使得 (v = (1_X \otimes U)u)。
证明过程如下：
- 设 (A, B \in L(Y, X)) 是满足 (u = vec(A)) 和 (v = vec(B)) 的唯一算子，令 (P \in Pos(X)) 满足 (Tr_Y(uu^ ) = P = Tr_Y(vv^ ))，由此可得 (AA^ = P = BB^ )。设 (r = rank(P))，则 (rank(A) = r = rank(B))。
- 取 (P) 的任意一组正交归一的特征向量 (x_1, \ldots, x_r \in X) 以及对应的特征值 (\lambda_1(P), \ldots, \lambda_r(P))。由于 (AA^ = P = BB^ )，可以选择 (A) 和 (B) 的奇异值分解：
[
A = \sum_{k = 1}^{r} \sqrt{\lambda_k(P)} x_k y_k^
]
[
B = \sum_{k = 1}^{r} \sqrt{\lambda_k(P)} x_k w_k^
]
其中 ({y_1, \ldots, y_r}) 和 ({w_1, \ldots, w_r}) 是 (Y) 中的正交归一向量组。
- 设