29、量子信道容量相关知识解析

量子信道容量相关知识解析

1. 习题部分

在这部分，有多个与量子相关的习题，涉及到单位信道、等距映射、均匀球面测度等概念。
- 习题 7.1 ：对于每个正整数 (n \geq 2)，定义一个单位信道 (\Phi_n \in C(\mathbb{C}^n)) 为 (\Phi_n(X) = \frac{1}{n - 1} \text{Tr}(X)1_n - \frac{1}{n - 1}X^T)，需要证明当 (n) 为偶数时，(\Phi_n) 是一个混合酉信道。
- 习题 7.2 ：设 (n) 和 (m) 是正整数且 (n < m)，考虑从 (\mathbb{C}^n) 到 (\mathbb{C}^m) 的所有等距映射的集合 (U(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m))。
- (a) 部分 ：要证明存在一个波莱尔概率测度 (\nu : \text{Borel}(U(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m)) \to [0, 1])，使得对于任意波莱尔子集 (A \in \text{Borel}(U(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m))) 以及酉算子 (U \in U(\mathbb{C}^m)) 和 (V \in U(\mathbb{C}^n))，有 (\nu(A) = \nu(UAV))。
- (b) 部分 ：若 (\mu : \text{Borel}(U(\mathbb{C}^n, \mathbb{C}^m)) \to [0, 1]) 是 (U(\mathbb{C}^n,