47、量子通信协议中的信道容量与相关问题解析

量子通信协议中的信道容量与相关问题解析

1. 历史注记

在一般情况下，某特定界限并不一定能达到。不过，对于特定的相位阻尼信道，这个界限是可以达到的。

2. 练习解答

2.1 练习 9.1

假设在 $H_C$ 上的初始状态为 $\sum_{k = 1}^{d} x_k |u_C^k \rangle$，那么整个系统的初始状态为 $\sum_{k,l} \frac{1}{\sqrt{d}} x_k |u_A^l, u_B^l, u_C^k \rangle$。当测量结果为 $(i, j)$ 时，测量后的结果状态如下推导：
[
\begin{align }
&\sqrt{d} \langle u_A^i, u_C^j | \sum_{k,l} \frac{1}{\sqrt{d}} x_k |u_A^l, u_B^l, u_C^k \rangle\
=&\sum_{t} \langle u_A^t, u_C^t | (X_i^C Z_j^C)^T \sum_{k,l} x_k |u_A^l, u_B^l, u_C^k \rangle\
=&\sum_{t} \sum_{k,l} \langle u_A^t, u_C^t | ((X_i Z_j)^T x) k |u_A^l, u_B^l, u_C^k \rangle\
=&\sum {k,l} ((X_i Z_j)^T x) k \langle u_A^k | |u_A^l, u_B^l \rangle\
=&\sum {k} ((X_i Z_j)^T