62、统计最优控制与自适应核宽选择方法解析

统计最优控制与自适应核宽选择方法解析

在现代控制理论和强化学习领域，统计最优控制和核宽度选择是两个关键的研究方向。统计最优控制旨在通过优化系统成本的不同阶累积量，实现对随机系统的高效控制；而在强化学习中，核宽度的选择对于基于核的最小二乘策略迭代算法（KLSPI）的性能至关重要。下面我们将深入探讨这两个方面的内容。

统计最优控制：基于神经网络求解HJB方程

在统计最优控制问题中，研究人员采用成本累积量方法来分析和解决问题。对于给定的随机系统，目标是最小化系统成本的不同阶累积量，这会导致成本函数分布呈现不同的形状。

为了实现这一目标，研究人员推导出了第n阶累积量最小化的HJB方程，作为最优性的必要条件，并给出了第n阶成本累积量情况的验证定理（充分条件）。然而，HJB方程尤其是对于非线性系统，直接求解十分困难。因此，采用神经网络近似方法来解决这一问题。

具体步骤如下：
1. 神经网络近似值函数 ：
- 选择一组依赖于状态的神经网络输入函数 $\delta_i(x)$，将其与依赖于时间的相应权重 $w_i(t)$ 相乘，然后求和得到输出函数 $V_L(x,t)$，该输出函数即为相应HJB方程的近似值函数。
- 采用多项式级数展开 ${\delta_1(x), \delta_2(x), \cdots, \delta_L(x)}$ 作为神经网络输入函数，通过确定由向量 $w_L(t) = {w_1(t), w_2(t), \cdots, w_L(t)}$ 表示的级数展开的时间相关权重，得到近似值函数 $V_{nL}^ (t,x) = \sum_{i=1}^{L} w_i(t) \delta_i(