12、石墨烯物理专题解析

石墨烯物理专题解析

1. 自由悬浮石墨烯中的声子

自由悬浮的石墨烯是二维材料，每个晶胞有 2 个原子，因此存在 4 个面内晶格自由度，对应 2 个声学（纵向 LA 和横向 TA）和 2 个光学（纵向 LO 和横向 TO）声子模式。同时，由于石墨烯处于三维空间中，还有 2 个与面外运动相关的额外自由度，即弯曲声学（ZA）和光学（ZO）声子模式。长波长下这些模式的位移情况如图 3.10 所示。在位移的主导阶中，面内和面外模式解耦，可分别研究，这里主要关注面外模式，因为它们主导了石墨烯的低能物理。

使用 Monge 表示法，石墨烯晶格中的点 R 由向量 R = (r, h(r)) 描述，其中 r = (x, y) 是二维坐标向量，h(r) 是高度变量。表面法向单位向量为：
[N = \frac{(-\nabla h + z)}{\sqrt{1 + (\nabla h)^2}}]
其中 (\nabla = (\partial_x, \partial_y)) 是二维梯度算子，z 是第三方向的单位向量。

从平坦构型的畸变会消耗能量，因为它们会旋转想要对齐的 sigma 轨道，以实现绑定原子的波函数的最大重叠。考虑以子晶格 A 为中心的三角晶格，设该点的法向为 (N_i)，则石墨烯弯曲的能量成本可写为：
[U_B = -\frac{\kappa_L}{2} \sum_{\langle i, j \rangle} N_i \cdot N_j]
其中 (\kappa_L) 是石墨烯的晶格弯曲刚度。

经过一系列推导，在动量空间中，弯曲能量可重写为：
[\delta U_B = \frac{\kappa}{2} \int d^2q