8、最大独立集问题及随机算法解析

最大独立集问题及随机算法解析

1. 最大独立集问题概述

最大独立集（Maximal Independent Set，MIS）问题是在无向图中寻找一个节点集合，该集合中的任意两个节点都不相邻，并且无法再加入其他节点以形成更大的独立集。无向图可能存在多个不同的最大独立集，我们不要求找到最大的那个，任意一个最大独立集即可。

这个问题在网络中共享资源分配给进程的场景中有实际应用。图中的邻居节点可能代表不能同时执行涉及共享资源活动（如数据库访问或无线电广播）的进程。我们希望选择一组可以同时执行操作的进程，为避免冲突，这些进程应构成图中的一个独立集。此外，为了提高性能，如果一个进程的所有邻居都不活跃，就不应该阻塞该进程，因此所选的进程集合应该是最大的。

2. 问题定义

设 (G=(V, E)) 是一个无向图。节点集合 (I \subseteq V) 被称为独立集，如果对于所有的节点 (i, j \in I)，都有 ((i, j) \notin E)。独立集 (I) 是最大的，如果任何严格包含 (I) 的集合 (I’) 都不是独立集。目标是计算图 (G) 的一个最大独立集。更具体地说，索引在 (I) 中的每个进程最终应输出 “winner”，即应将其状态的一个特殊状态组件设置为 “winner” 值，而索引不在 (I) 中的每个进程应输出 “loser”。

我们假设所有进程都知道节点的数量 (n)（也可以使用 (n) 的一个上界），并且不假设存在唯一标识符（UID）。

3. 随机算法：LubyMIS

在某些图中，如果要求进程是确定性的，那么最大独立集问题无法解决。为了克服确定性系统的这一固有局限性，我们引入