3、分布式优化算法的线性收敛性研究

分布式优化算法的线性收敛性研究

1. SGT - FROST算法相关结果

SGT - FROST算法在分布式优化中有着重要的应用，其相关的结果和收敛性分析如下：
- 关键不等式推导 ：
- 首先有(|\check{z}(k)| = |1_Na^T \tilde{Y}^{-1}(k)\nabla F(k)|)，通过一系列推导得到(|\check{z}(k)| \leq y \tilde{y}^2C\lambda_0^k|\nabla F(k)| + N|\nabla F(k) - \nabla F(1_N x^ )|)，其中(\nabla F(1_N x^ )= [\nabla f_1(x^ ), \ldots, \nabla f_N(x^ )]^T)，(y = \sup_{k\geq0} |Y(k)|)。
- 进一步根据假设得到(|\check{z}(k)| \leq\hat{L}(y \tilde{y}^2C + N)|x(k) - 1_N x^ | + y \tilde{y}^2C\lambda_0^k|\nabla F(1_N x^ )|)。
- SGT - FROST的收敛性定理 ：
- 考虑SGT - FROST算法（2.4）使用非协调步长（D）更新序列({x(k)})。设(\alpha_{max} = \max_{i\in V}{\alpha_i})，(k_D = \alpha_{max}/\alpha_{min})（矩阵D的条件数）。
- 在假设2.1 - 2.3下，当(\alpha_{max} \in \left