14、线性回归：从基础到实践

线性回归：从基础到实践

1. 线性回归的基本概念

线性回归是一种广泛使用的监督学习方法，主要用于预测一个连续的目标变量。它的核心思想是通过拟合一条直线（对于简单线性回归）或多维平面上的超平面（对于多元线性回归），来描述自变量与目标变量之间的关系。线性回归的目标是最小化预测值与实际值之间的差异。

线性回归可以分为两类：
- 简单线性回归 ：只有一个自变量和一个目标变量。
- 多元线性回归 ：多个自变量和一个目标变量。

线性回归模型的形式如下：
[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_n x_n + \epsilon ]
其中，( y ) 是目标变量，( x_1, x_2, \ldots, x_n ) 是自变量，( \beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_n ) 是模型参数，( \epsilon ) 是误差项。

2. 模型的数学基础

线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）。最小二乘法的目标是使残差平方和最小化，即：
[ \min_{\beta} \sum_{i=1}^{m} (y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \ldots + \beta_n x_{in}))^2 ]

为了理解最小二乘法的推导过程，我们需要引入矩阵表示法。假设我们有一个数据集 ( X ) 和目标变量 (