21、蒙特卡罗模拟：原理、应用与mc2d包实战

蒙特卡罗模拟：原理、应用与mc2d包实战

1. 蒙特卡罗模拟基础

在统计分析中，评估随机变量的期望是一项重要任务。然而，在某些情况下，应用确定性算法不可行，或者难以获得封闭形式的表达式。蒙特卡罗方法是解决这些问题的实用途径，它通过对数量进行重复随机抽样来近似未知概率分布。

以估计分布的均值 $E(X)$ 为例，我们可以生成 $m$ 个独立同分布的 $X$ 的副本 $X_1, …, X_m$，并使用样本均值 $\bar{X} m = \frac{1}{m} \sum {i=1}^{m} X_i$ 作为真实均值的估计。根据大数定律，当 $m$ 足够大时，样本均值 $\bar{X}_m$ 会很好地近似 $E(X)$。

大数定律还表明，大量独立样本的密度直方图接近底层分布的密度。而中心极限定理则指出，当样本量趋于无穷大时，$\bar{X}_m$ 的分布近似于正态分布，这对于任何类型的随机变量都成立。

以下是一个模拟 10,000 个来自速率为 0.4 的指数分布的随机样本的示例代码：

set.seed(983)
x.exp <- rexp(10000, rate=0.4)   
hist(x.exp, probability=TRUE, col=gray(0.8), main="", cex.axis=1.2, cex.lab=1.5)
mean(x.exp)
sd(x.exp)

接下来，我们绘制 500 个样本分布的均值，每个样本包含 100 个速率为 0.4 的随机指数变量：