57、多边形守卫与非NP难优化问题的不可近似性研究

多边形守卫与非NP难优化问题的不可近似性研究

无洞多边形守卫问题

1. 图案构造
   • 变量图案左支 ：除点 $v_5$ 外构建变量图案的左支。$v_5$ 是与 $v_5’$ 相距常数距离 $d$ 的垂直线，与从 $e_2$ 经过 $v_5’$ 延伸的尖锥边界线，或者与从 $v_1$ 经过第一支最顶部尖峰点 $s_4$ 的直线的交点，$v_5’$ 与 $v_1$ 的获取过程相同。
   • 文字图案 ：采用与变量图案左支类似的方法，将点 $l_5$ 向上移动，常数为 $d’$。此操作可使延伸的尖锥不变或仅“缩小”，且尖锥的变化会使变量图案中尖峰的开口变小。
   • 子句连接 ：构建子句连接，保证尖锥不与多边形边界相交。距离 $b$ 定义为所有两个延伸尖锥交点中 $y$ 值最大的点，到文字图案水平线的 $y$ 距离，与距离 $w’$ 中的最小值。完成构造后，最左边子句连接的点 $w_1$、$w_6$ 和 $p_8$ 共线。
   • 分析表明所有点的坐标可在多项式时间内计算，部分坐标需要多项式位数，因此该构造在输入规模上是多项式的。
2. 解的转换
   • 确定位于多边形 $w_1, \cdots, w_6$ 内的守卫，并将其移动到 $w_1$。
   • 对于每个文字图案，确定能看到点 $l_4$ 且在文字图案内的守卫，将其移动到文字图案中 $l_1(= T