4、艺术画廊守卫边界最大化问题的APX完全性

艺术画廊守卫边界最大化问题的APX完全性

在艺术画廊布局中，如何合理放置守卫以最大化被守卫的边界价值或长度是一个关键问题。本文将探讨多个相关问题的复杂性，证明它们属于APX完全问题。

1. 最大价值顶点守卫问题

• 问题定义 ：给定一个无洞多边形 $P$，其边界被划分为不相交的带非负权重的线段，目标是放置 $k$ 个顶点守卫，使被守卫的边界线段总权重最大。
• 证明思路 ：通过从已知的APX困难问题——最大5次出现3合取范式可满足性问题（Max - 5 - occurrence - 3 - Sat）进行归约，证明最大价值顶点守卫问题是APX困难的。

1.1 归约的构造部分

• 模式构建 ：为布尔表达式中的每个文字、子句和变量构建相应的模式。
  • 子句模式 ：包含3个文字“耳朵”模式，只有当守卫放置在顶点 $Flit$ 或 $Tlit$ 时，才能用一个顶点守卫监视整个文字模式。
  • 变量模式 ：有两个“腿”和一个“尾巴”，并根据文字的正负添加相应的“尖刺”。
• 权重分配 ：除子句模式中的“廉价”边赋值为1外，多边形的每条边赋值为8。
• 守卫数量 ：设置可用守卫数量 $k = l + n + 1$，其中 $l$ 是文字出现的