36、图论问题的高效算法解析

图论问题的高效算法解析

在图论的研究中，有许多重要的问题需要解决，如顶点连通性问题、独立集问题、支配集问题等。下面将详细介绍这些问题的相关概念、算法及复杂度分析。

1. 可完美分割与可分割问题的复杂度

• 顶点连通性问题
  • 定义 ：图的顶点（边）分隔器是指移除后能使图不连通或变为平凡图的最小顶点（边）集合。最小顶点（边）分隔器是指具有最小基数的顶点（边）分隔器。顶点（边）连通性问题 VC∅(G)（EC∅(G)）就是要找到图 G 的最小顶点（边）分隔器 Q。
  • S 型分隔器 ：对于具有孪生集 S 的距离遗传图 G，若存在 G[V \ Q]的一个组件 H 使得 V(H) ∩ S = ∅，则称最小顶点（边）分隔器 Q 为 S 型。VCS(G)（ECS(G)）是要找到图 G 的最小 S 型顶点（边）分隔器。
  • 复杂度分析 ：给定图 G 的分解树 DG，VC∅(G) 是具有封闭 B 约简方案的 1 型可完美分割问题，可在线性时间内解决，在 EREW PRAM 上使用 O(n / log n) 个处理器并行处理时，时间复杂度为 O(log n)。同理，EC∅(G) 也是具有封闭 B 约简方案的 1 型可完美分割问题，具有相同的时间复杂度。
• 其他问题
  • 最大团问题和 Steiner 树问题 ：这两个问题都是具有封闭 B