12、探索参数曲线：从手动绘制到软件模拟

探索参数曲线：从手动绘制到软件模拟

特殊曲线的参数特性

在研究参数曲线时，有几种特殊曲线值得关注：
- 圆 ：
- 当形成外摆线（epitrochoid）时，特殊情况 (d = 0) 会产生半径为 (R + r) 的圆。
- 对于内摆线（hypotrochoid），当 (d = 0) 且 (R \neq r) 时，会得到半径为 (R - r) 的圆。
- 椭圆 ：内摆线中当 (R = 2r) 时为椭圆，此时方程可简化为 (a = r + d) 和 (b = r - d) 的形式。
- 心脏线（Cardioid） ：它是一个圆在另一个相同半径的固定圆外滚动时，圆周上一点所形成的平面曲线。即当 (r = R = d) 时，外摆线方程可得到心脏线。
- 星形线（Astroid） ：在参数方程中选择 (r = d = R/4) 时，可得到星形线的参数方程：
[
\begin{cases}
x(t) = 3r \cos t + r \cos 3t = 3r \cos t + r(4\cos^3t - 3 \cos t) = 4r\cos^3t \
y(t) = 3r \sin t - r \sin 3t = 3r \sin t - r(3 \sin t - 4\sin^3t) = 4r\sin^3t
\end{cases}
]

绘制摆线（Roulettes）的工具与实践

摆线是一类重要的曲线，包括旋轮线（cycloid