61、矩阵压缩与强化学习在资源管理中的应用

矩阵压缩与强化学习在资源管理中的应用

1. 压缩矩阵 - 向量乘法

压缩矩阵与向量的乘法过程有两种情况需要考虑：
- 叶子节点情况 ：在压缩矩阵的叶子节点处，将压缩子矩阵与向量的对应部分相乘。这种情况下，压缩矩阵与 $s$ 个向量进行矩阵 - 向量乘法的计算成本为 $O(rms + rns)$，当 $n = m = N \gg r$ 时，可简化为 $O(Nrs)$。
- SVD 块情况 ：将矩阵压缩为四个 SVD 块后与划分为两个块的向量相乘，使用递归公式 $\begin{bmatrix}C_2 \times (C_1 \times X_1) + D_2 \times (D_1 \times X_2) \ E_2 \times (E_1 \times X_1) + F_2 \times (F_1 \times X_2)\end{bmatrix}$，计算成本为 $O(Nrs)$。

压缩矩阵算法

以下是压缩矩阵的算法伪代码：

Algorithm 1. compress_matrix
Require: A ∈ Mm×n, δ compression threshold, b maximum rank
1: if A = 0 then
2:    create new node v; v.rank ← 0; v.size ← size(A); return v;
3: end if
4: [U, D, V ] ← SVD(A); σ ← diag(D);
5: rank ← card ({i: σi &