21、信号处理中的插值、采样与混叠现象解析

信号处理中的插值、采样与混叠现象解析

1. 信号采样基础

在信号处理里，正交基的逼近特性表明，对于间隔为 $T_s$ 秒的均匀样本，信号在 $\Omega_N$ 带限信号空间上的投影样本能给出该信号的最佳近似。这在公式 (9.23) 中很容易看出，投影相当于对 $x(t)$ 进行理想低通滤波操作（增益为 $T_s$），会截断其在 $[-\Omega_N, \Omega_N]$ 区间之外的频谱。

基于 sinc 基展开的采样自动包含了这种低通滤波操作。对于 $\Omega_N$ 带限信号，滤波只是简单的乘以 $T_s$ 进行缩放。但对于任意信号，我们可以将 sinc 采样分解为如图 9.7 所示的形式，第一个模块是截止频率为 $\Omega_N$、增益为 $T_s = \pi / \Omega_N$ 的连续时间低通滤波器。这样得到的离散时间序列 $x[n]$ 是原始信号在均匀采样时的最佳离散时间近似。

graph LR
    A[x(t)] --> B[低通滤波器]
    B --> C[xLP(t)]
    C --> D[采样]
    D --> E[x[n]]

2. 混叠现象的直观理解

回到简单的采样方案，即 $x[n] = x(nT_s)$，其中 $F_s = 1 / T_s$ 是系统的采样频率。如果 $x(t)$ 不是带限信号，或者采样频率小于最大频率的两倍，会产生什么误差呢？我们可以从单个正弦波的简单情况开始建立直观理解，再进行混叠现象的正式证明。

2.1 正弦波采样

考