18、随机信号处理：概念、特性与分析方法

随机信号处理：概念、特性与分析方法

1. 随机变量基础

1.1 不相关性与独立性

随机变量的不相关性和独立性是两个重要概念。不相关意味着两个随机变量之间不存在线性关系，但独立性要求更强，即一个变量的取值不影响另一个变量的取值概率。不过，对于高斯随机变量，独立性和不相关性是等价的。

1.2 方差与标准差

随机变量 (X) 的方差 (\sigma_{X}^{2}) 定义为 (\sigma_{X}^{2} = E[(X - m_{X})^{2}])，其中 (m_{X}) 是 (X) 的均值。方差的平方根 (\sigma_{X}) 称为 (X) 的标准差。

1.3 高斯随机变量示例

高斯随机变量的概率密度函数（pdf）为：
[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x - m)^{2}}{2\sigma^{2}}}, x \in \mathbb{R}]
这就是正态分布。显然，高斯变量的均值是 (m)，方差是 (\sigma^{2})。归一化因子 (\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}) 确保了 pdf 在整个实数轴上的积分等于 1。

2. 随机向量

2.1 概率分布

随机向量 (X) 是 (N) 个随机变量的集合 ([X_{0}, X_{1}, \cdots, X_{N - 1}]^{T})，其累积分布函数 (F_{X}) 为：
[F_{X}(\alpha) = P[X_{i} \leq \alpha_{i}, i = 0, 1, \cd